Integration durch Substitution -Studium?
Hallo,
Ich habe ein Problem bei einer Übungsaufgabe bzw. komme nicht weiter.
Die Aufgabe lautet: Integral von x sqrt(x-2) dx
Außerdem ist Substitution mit u²=x-2 vorgegeben.
Klappt soweit auch alles wunderbar. Nur wenn ich das dx ersetze habe ich dort wieder ein x stehen (in der Ableitung von u (also sqrt(x-2)d/dx)).
Und ab dem Punkt komme ich nicht weiter.
Darf ich das dann gleich nochmal substituieren?
Bin für jede Hilfe und jeden Zaunpfahl dankbar.
PS: Hier der Link zur Aufgabe in WA: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%3Axsqrt%28x-2%29
Und ein Bild hänge ich auch noch an.
4 Antworten
einfacher wirds mit u=x-2
x=u+2
x' = 1
dx=du
Integr. ( (u+2) • wurzel u ) du
Integr. (u^3/2 + 2u^1/2) du
2/5 u^5/2 + 4/3 u^3/2
ergibt nach Rücksubsti. und Umformung die Lösung.
Jetzt ist mein ganzer Schreibtisch mit den Schuppen voll, die mir von den Augen gefallen sind, tausend Dank.
Hallo,
wenn x-2=u², dann ist x=u²+2 und u=√(x-2)
dx/du=2u dx=du*2u
Du mußt also das Integral von x*√(x-2) mit 2u multiplizieren, nachdem Du substituiert hast.
So lautet F(u):
∫[2u*(u²+2)*u]du=2∫(u⁴+2u²)du=
(2/5)*u⁵+(4/3)*u³
Nun mußt Du u wieder durch √(x-2) bzw. (x-2)^(1/2) ersetzen:
F(x)=(2/5)*(x-2)^(5/2)+(4/3)*(x-2)^(3/2)
Wenn Du magst, kannst Du noch 2*(x-2)^(3/2) ausklammern:
2*(x-2)^(3/2)*[(1/5)*(x-2)+2/3]=
2*(x-2)^(3/2)*(3x-6+10)/15=
[2*(x-2)^(3/2)*(3x+4)]/15
Herzliche Grüße,
Willy
Auch dir vielen Dank. Die zweite Zeile hätte schon gereicht, der Rest ist wieder einläuchtend.
Ich bin nicht drauf gekommen, das ich auch einfach dx=(u²+2)' du nehmen kann... Das im Wald aber auch immer so viele Bäume stehen müssen ;-)
schönes Wochenende
übrigens eine andere möglichkeit wäre mittels partieller integration:
sei u=x und v'=sqr(x-2)
mach dir eines klar:
das integral von sqr(x-2)=(x-2)^(1/2) ist
v=(2/3)*(x-2)^(3/2)
ist ja shcließlich nur ein ausdruck a^b, der sich leicht integrieren lässt.
innere ableitung ist glücklicherweise 1, fällt also weg.
jedenfalls ist damit:
integral(u*v')=u*v - integral(u' * v)
=x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -integral(1* (2/3)*(x-2)^(3/2))
= x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -(2/3)*integral((x-2)^(3/2))
= x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -(2/3)* (2/5)* (x-2)^(5/2))
= x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -(4/15)* (x-2)^(5/2))
(du hast die Klammern um u²+2 vergessen)
Leite lieber x nach u ab:
dx = (dx / du) * du
P. S.: Wenn du mit "nochmal substituieren" eine Rücksubstitution meinst - das x in diesem Ausdruck rückzusubstituieren sollte auf einen äquivalenten Ausdruck führen.
Nimm am besten immer die übersichtlichere Richtung.
Mit u=x-2 ist es fix machbar.
u²=x-2 war aber vorgegeben...
Trotzdem besser als nix zu schreiben,
Danke ;-)