Integration durch Substitution -Studium?

Hallo,

Ich habe ein Problem bei einer Übungsaufgabe bzw. komme nicht weiter.

Die Aufgabe lautet: Integral von x sqrt(x-2) dx
Außerdem ist Substitution mit u²=x-2 vorgegeben.

Klappt soweit auch alles wunderbar. Nur wenn ich das dx ersetze habe ich dort wieder ein x stehen (in der Ableitung von u (also sqrt(x-2)d/dx)).
Und ab dem Punkt komme ich nicht weiter.

Darf ich das dann gleich nochmal substituieren?
Bin für jede Hilfe und jeden Zaunpfahl dankbar.

PS: Hier der Link zur Aufgabe in WA: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%3Axsqrt%28x-2%29

Und ein Bild hänge ich auch noch an.

Answer 1

[Ellejolka]

einfacher wirds mit u=x-2

x=u+2

x' = 1

dx=du

Integr. ( (u+2) • wurzel u ) du

Integr. (u^3/2 + 2u^1/2) du

2/5 u^5/2 + 4/3 u^3/2

ergibt nach Rücksubsti. und Umformung die Lösung.

Comments

[Neweage]

Mit u=x-2 ist es fix machbar.
u²=x-2 war aber vorgegeben...

Trotzdem besser als nix zu schreiben,
Danke ;-)

[Ellejolka]

@Neweage

u² = x-2

u=sqrt (x-2)

x=u²+2

x' = 2u

dx = 2u du

Int ((u²+2) • 2u) du

da hast du kein x mehr drinnen

= 2/6 u^6 + u^4

rücksubsti.

1/3(x-2)³ + (x-2)²

usw

[Neweage]

@Ellejolka

Jetzt ist mein ganzer Schreibtisch mit den Schuppen voll, die mir von den Augen gefallen sind, tausend Dank.

[rumar]

@Neweage

Schönes Bild !  Ich habe ein ähnliches:  Aus all den Brettern, die ich je vor dem Kopf hatte, habe ich mir ein schönes Gartenhäuschen gebaut ...

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

wenn x-2=u², dann ist x=u²+2 und u=√(x-2)

dx/du=2u dx=du*2u

Du mußt also das Integral von x*√(x-2) mit 2u multiplizieren, nachdem Du substituiert hast.

So lautet F(u):

∫[2u*(u²+2)*u]du=2∫(u⁴+2u²)du=

(2/5)*u⁵+(4/3)*u³

Nun mußt Du u wieder durch √(x-2) bzw. (x-2)^(1/2) ersetzen:

F(x)=(2/5)*(x-2)^(5/2)+(4/3)*(x-2)^(3/2)

Wenn Du magst, kannst Du noch 2*(x-2)^(3/2) ausklammern:

2*(x-2)^(3/2)*[(1/5)*(x-2)+2/3]=

2*(x-2)^(3/2)*(3x-6+10)/15=

[2*(x-2)^(3/2)*(3x+4)]/15

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Neweage]

Auch dir vielen Dank. Die zweite Zeile hätte schon gereicht, der Rest ist wieder einläuchtend.
Ich bin nicht drauf gekommen, das ich auch einfach dx=(u²+2)' du nehmen kann... Das im Wald aber auch immer so viele Bäume stehen müssen ;-)

schönes Wochenende

Answer 3

[berndao2]

übrigens eine andere möglichkeit wäre mittels partieller integration:
sei u=x und v'=sqr(x-2)

mach dir eines klar:
das integral von sqr(x-2)=(x-2)^(1/2) ist
v=(2/3)*(x-2)^(3/2)

ist ja shcließlich nur ein ausdruck a^b, der sich leicht integrieren lässt.
innere ableitung ist glücklicherweise 1, fällt also weg.

jedenfalls ist damit:

integral(u*v')=u*v - integral(u' * v)
=x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -integral(1* (2/3)*(x-2)^(3/2))
= x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -(2/3)*integral((x-2)^(3/2))
= x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -(2/3)* (2/5)* (x-2)^(5/2))
= x * (2/3)*(x-2)^(3/2) -(4/15)* (x-2)^(5/2))

Answer 4

[PWolff]

(du hast die Klammern um u²+2 vergessen)

Leite lieber x nach u ab:

dx = (dx / du) * du

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Comments

[PWolff]

P. S.: Wenn du mit "nochmal substituieren" eine Rücksubstitution meinst - das x in diesem Ausdruck rückzusubstituieren sollte auf einen äquivalenten Ausdruck führen.

Nimm am besten immer die übersichtlichere Richtung.