Wieso wird bei der substitution einfach das dx / du entferntt?

Ich gucke mir grad mathevideos an, und verstehe nicht, wieso das dx / du bei der substitution und Integration entfernt wird, sobald man die Grenzen neu festgelegt hat.

Ist das immer so?

Was ist da die mathematische Begründung hinter?

Vielen dank im voraus.

Ich habe das rot markiert.

Answer 1

[evtldocha]

Du hast doch dann schon "über du" integriert und dann steht danach nur noch die Stammfunktion (Die Stammfunktion des cos(x) ist der sin(x) und darum ist auch die Funktion eine andere geworden).

Die mathematische Begründung ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Fundamentalsatz der Analysis): https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis

Ganz, ganz grob und knapp besagt der Satz (genaugenommen der zweite Teil davon) mit der Funktion f(x) und deren Stammfunktion F(x) gilt:

$\int_{_a}^bf\left(x\right)dx\ =\ \left[F\left(x\right)\right]_a^{^b}\ =F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Wieso wird bei der substitution einfach das dx / du entfernt

Die Antwort auf die Titelfrage ist daher:

Das hat weder was mit der Substitution zu tun, noch wird hier irgendetwas "entfernt". Es wurde lediglich vorausgesetzt, dass man die Stammfunktion der zu integrierenden Funktion kennt. Und daher wurde diese Stammfunktion auch entsprechend verwendet, um das Integral zu berechnen.