Integration durch Substitution?

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Könnte mir jemand sagen wo bei mir hier der Fehler liegt... Laut "mathdf" sollte

$\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}$ herauskommen.

Answer 1

[TBDRM]

Mit der Substitution u = √(1+x) erhälst du

du/dx = 1/(2 √(1+x²)) = 1/(2 u) => dx = 2 u du

und x = u²–1, wobei u≥0 sein muss.

Setzt du dann die Ausdrücke für dx und x sowie √(1+x) ein, erhälst du

Allerdings steht zum Anfang nicht √(1+x), sondern √(1+x²) im Nenner des Integranden. Hier biete sich die Substitution

x = sinh(u) => dx = cosh(u) du

an, denn sinh²(u) + 1 = cosh²(u). Damit folgt:

Dieses Integral lässt sich dann mit partieller Integration lösen, nämlich so:

I = Int{ sinh²(u) }du

I = Int{ sinh(u) • sinh(u) }du

I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ cosh(u) • cosh(u) }du

I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ cosh²(u) }du

I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 + sinh²(u) }du

I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du – Int{ sinh²(u) }du

I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du – I

2 I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du

2 I = cosh(u) • sinh(u) – u + C

I = (cosh(u) • sinh(u) – u) / 2 + C

Setzt man nun zurück ein, aslo u = sinh⁻¹(x), erhält man

I = (cosh(sinh⁻¹(x)) • sinh(sinh⁻¹(x)) – sinh⁻¹(x)) / 2 + C

I = x √(x² + 1)) / 2 – ln(x + √(x² + 1)) / 2 + C

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Answer 2

[Rassler38]

Du hast zumindest in der letzten Zeile einen Patzer: Aus dem x^2 wird durch die Integration x^3 und nicht x.

Edit: Die ganze letzte Zeile ist falsch. Du integrierst da nach u und nicht nach x!.

Dein ganzes Lösungsverfahren ist falsch/nicht anwendbar. Nach der Substituation darf dein term nicht mehr von X abhängen