Integration durch Substitution?
Hallo,
ich hänge sehr lange an der Aufgabe und komme leider nicht voran.
in den kurzlösungen steht, dass das ganze 1/4 ergibt, nur leider komme ich nicht zum richtigen Ergebnis:(
(Habe sowohl sin als auch cos substituiert…)
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
danke im voraus :)
1 Antwort
Praktischerweise ist sin die Ableitung von cos. Setzt man also u=cos(x), so erhält man du/dx = sin(x), bzw. dx = du/sin(x).
Eingesetzt liefert das dann
∫ cos(x)³ * sin(x) dx = ∫ u³ *sin(x) * du/sin(x) = ...
Hilft das vielleicht schon weiter? Jetzt musst du ja eigentlich nur noch zusammenfassen und das Integral ausrechnen.
"„tausche“ ich ja dann dieses sinus (x) mit du"
Nein. Du ersetzt dx durch den Ausdruck, den du erhältst, indem du du/dx = sin(x) nach dx umstellst. Das hab ich gemacht.
Dann hast du, nachdem du dx eben durch du/sin(x) ersetzt, ∫ u³ *sin(x) * du/sin(x). Praktischerweise kürzt sich sin hier genau weg und übrig bleibt ∫ u^3 du. Das ist 1/4 * u^4. Jetzt ersetzt man u wieder durch cos und erhält insgesamt als Stammfunktion 1/4 * cos(x)^4. Jetzt kannst du da deine Grenzen einsetzen.
Schwer zu verstehen ist für mich, dass wenn ich nun cosinus substituieren möchte ( abgeleitet -sin(x) ) „tausche“ ich ja dann dieses sinus (x) mit du (also mit der abgeleiteten)
ich weiss dann nicht, woraus ich die Stammfunktion erstellen muss, um die jeweiligen (nach u umgeformten) grenzen einzutragen..