Wann wende ich die partielle Integration an, oder kann ich es immer benutzen?
Z.B. für
xe^(-x^2)
2 Antworten
Das kannst Du vorteilhaft per Substitution integrieren, weil der Vorfaktor x ja bis auf Konstanten gleich der ersten Ableitung der inneren Funktion x² ist. Das Resultat ist mit allen Vorfaktoren und einem richtigen Vorzeichen (danke an Willy1729) also einfach −½⋅exp(−x²).
Danke, ich hatte leider das Vorzeichen in der Angabe überlesen. Wird ausgebessert.
Immer geht es nicht und in diesem Fall auch nicht.
Ganz einfach aus dem Grund dass du hier in die Schleife geräst:
Integrierst du e^(-x^2) knallts schon. Das ist raus. x integrieren bleibt dir noch, am Ende sieht das Integral nicht viel schöner aus.
Substituiere mit -x^2 und teile durch die Ableitung
danach steht:
-e^(u)/2 du
Wann du PI angwendest, liegt auf der Hand, dazu schau dir mal die ,,Lösungsformel" genau an, du siehst, dass es die Umkehrung der Produktregel ist. Im hinteren Integral muss sich etwas ergeben, dass du integrieren kannst.
Wenn du PI anwendest, x integrierst, e^(-x^2) ableitest, steht hinten als Integrand:
1/2x^2 e(-x^2)*(-2x) = -x^3 e^(-x^2)
Das mein lieber Schmetterling bringt nur Ärger
Es muß aber F(x)=-(1/2)*e^(-x²)+C lauten.
Wenn Du das nach der Kettenregel ableitest, verschwindet das Minus wieder und Du kommst auf f(x)=x*e^(-x²).