Warum Integral -pi,pi = 0?

Warum ist

1/pi*Integral(-pi,pi) (sin(m*x)*sin(n*x))

Und 1/pi*Integral(-pi,pi) (sin(n*x)*sin(n*x))

0

?

Also das liegt ja an der Symmetrie wenn man sich die Graphen anschaut und dass die Flächen sich gegenseitig aufheben aber wie zeigt man das so anhand der Integrale dass da 0 rauskommt?

Answer 1

[TBDRM]

Mithilfe diesem Rechner sollten deine Fragen beantwortet sein, einfach das Integral eingeben und den Rechenweg anschauen (Grenzen nicht vergessen):

https://www.integralrechner.de/

Übrings, dein zweites Integral ist nicht null.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Comments

[RobinSeum]

Ja das habe ich mir dort schon angeschaut aber der Rechenweg zur Stammfunktion bringt mich nicht weiter und wenn ich die Grenzen einsetze kommt dort auch nicht 0 raus...

Ja bei der 2 meinte ich als Ergebnis 1

[TBDRM]

@RobinSeum

Wieso bringt er dich nicht weiter... die Stammfunktion wird dort doch angegeben und sogar erklärend berechnet.

Answer 2

[Rammstein53]

Die Stammfunktion von sin(m*x)*sin(n*x) lautet

$F\left(x\right)\ =\ \frac{\sin\left(\left(m-n\right)x\right)}{2\left(m-n\right)}\ -\ \frac{\sin\left(\left(n+m\right)x\right)}{2\left(n+m\right)}\ +\ C$

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Fall 1: n = m; n,m € N

$\lim\ \left(n-m\right)\ ->\ 0\ \frac{\sin\left(\left(m-n\right)\cdot x\right)}{2\left(m-n\right)\ }\ =\ \frac{x}{2}$

Daraus folgt für das bestimmte Integral über [-π,+π]

$F\left(\pi\right)-\ F\left(-\pi\right)\ =\ \frac{\pi}{2\ }-\ \frac{\sin\left(2\cdot n\cdot\pi\right)}{4n}\ -\ \left[-\frac{\pi}{2}\ -\ \frac{\sin\left(2\cdot n\cdot\left(-\pi\right)\right)}{4n}\right]$

Wegen sin(2*n*π) = 0 ergibt das Integral immer +π

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Fall 2: n != m; n,m € N

$F\left(\pi\right)\ -\ F\left(-\pi\right)\ =\ \frac{\sin\left(\left(m-n\right)\cdot\pi\right)}{2\cdot\left(m-n\right)}\ -\ \frac{\sin\left(\left(n+m\right)\cdot\pi\right)}{2\left(m+n\right)}\ -\ \left[\frac{\sin\left(\left(m-n\right)\cdot\left(-pi\right)\right)}{2\left(m-n\right)}\ -\ \frac{\sin\left(\left(n+m\right)\cdot\left(-\pi\right)\right)}{2\left(n+m\right)}\right]$

Wegen sin(n*π) = 0, ist auch das Integral immer Null.

Answer 3

[Uwe65527]

Das kann ja nicht sein. Sxhau Dir mal das zweite Integral an :

sin(n*x) * sin(n*x) = sin²(n*x)

Das ist was Quadratisches, also immer >0 für x<>pi/n. Deshalb ist auch das Integral immer größer als 0 (wenn nicht gerade n=0)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.

Comments

[RobinSeum]

Ja ich wollte dort 1 hinschreiben, das soll ich zeigen. Also beim ersten muss 0 raus beim zweiten 1

[Uwe65527]

@RobinSeum

Setze beim ersten m=n. Dann hast Du das zweite.