Komplexe Zahlen: 2e^(3*(pi/4)). Wie geh ich mit der 3 um, wo ist das i?
Hallo,
folgende Aufgabenstellung:
Stelle folgende komplexe Zahl in die kartesische Form um:
2e^(3*(pi/4))
Mein Problem ist nun folgendes: Normalerweise hätte ich statt der 3 ein i erwartet und wüsste dann auch, was ich zu tun hätte. Mein Ergebnis wäre dann Wurzel(2)+Wurzel(2)*i
Nun ist das Ergebnis aber -Wurzel(2)+Wurzel(2)*i. Mein Verständnisproblem liegt nun bei der 3. Welche Auswirkungen hat sie auf die Gleichung bzw. Umformung und ersetzt sie das i?
Ich wäre auch dankbar für passende Schlagwörter, mit denen ich mich weiter auf die Suche begeben könnte, da mir sicher etwas beim Recherchieren entgangen ist.
Bild der Formeln:
Vielen Dank
2 Antworten
In der Darstellung in Polarkoordinaten liefert die 2 den Absolutbetrag und das 3/4 Pi das „Argument“, also den Winkel, den der Vektor in der komplexen Ebene mit der reellen Achse einschliesst. Dabei gibt es unterschiedliche Konventionen, ob man das Argument im Intervall von 0 bis 2 Pi oder von -Pi bis Pi nimmt. Ein Faktor 3, also 3/4 Pi statt 1/4 Pi heisst, dass der Winkel verdreifacht wird.
Wenn die Aufgabenstellung so ist, wie du geschrieben hast, also ohne die komplexe Einheit im Exponenten, dann ist das Ergebnis einfach eine reelle Zahl. Das ist dann so, und die ist nicht schwierig in kartesischen Koordinaten darzustellen!
Nein, der Faktor 3 ersetzt nicht das i. Die haben gar nichts miteinander zu tun.
Die Vermutung liegt nahe, dass in der Aufgabenstellung 2*e^(3*(pi/4)*i) gemeint war. In diesem Fall würde ich das als (e^(pi * i/4))^3 schreiben. Die e-Funktion kannst du jetzt in die kartesische Schreibweise umwandeln, um dann das Ergebnis in die dritte Potenz zu heben.
Meines Erachtens:
e^(pi/4 * i) = cos(45 Grad) + i * sin(45 Grad) = (1 + i)/Wurzel(2)
Wenn ich jetzt rechne
(1+i)^3/Wurzel(2)^3 = (1 + 3*i + 3*i^2 + I^3)/2/Wurzel(2) = (1+3i-3-i)/2/Wurzel(2) =(-1+i)/Wurzel(2).
Wenn ich das - wie in deiner (korrigierten) Aufgabenstellung mit 2 multipliziere, bekomme ich das Ergebnis in deiner Frage.
Vielen Dank für die Antwort!
Ich verstehe nun aber dennoch nicht so ganz, wie ich auf das genannte Ergebnis meines Dozenten kommen soll. Denn von dem eigentlichen Ergebnis (wenn die 3 ein i wäre) ändert sich ja nur das Vorzeichen des realen Teils, sprich der ersten Wurzel(2). Außerdem enthält sie ein i und ist dadurch ja keine reelle Zahl. Wenn ich den Vorschlag mit der 3. Potenz nutze, komme ich auf ein ganz anderes Ergebnis. Dabei schließe ich aber einen Rechenfehler meinerseits nicht aus.
Ich habe ausversehen das falsche Bild angehängt, aber sobald die Korrekturanfrage angenommen wurde, sieht man auch den richtigen Ausschnitt aus dem Aufgabenblatt.