Vektorfeld mit Rotation = 0 ist nicht wirbelfrei?
Hi, bei folgender Aufgabe ist die Rotation = 0, aber:
- Das geschlossene Kurvenintegral der c) liefert 4*pi*I/c, nicht null.
- Magnetfelder sind Wirbel.
Wie kann das sein?
Danke für Hilfe im Vorraus!
1 Antwort
Wo genau siehst du da ein Problem? Natürlich ist rot(B) in einem Abstand r>0 zum Leiter null, denn dort fließt ja kein Strom:
Wäre rot(B) dort nicht null, würde die Maxwell Gleichung ja nicht stimmen - diese ist eine lokale Beziehung ;-)
Und dort wo rot(B) = 0, kann man das Feld als Gradient eines Potenzials schreiben.
-> alles gut
Kennst du den Satz von Stokes schon? Überleg mal, wie rot(B) bei r=0 aussieht ;-)
Das Kurvenintegral über B ist gleich dem Flächenintegral von rot(B).
Wenn das Kurvenintegral nicht Null ist (wie du ja richtig erkennst) muss deshalb irgendwo im Flächenintegral rot(B) nicht Null sein. für r>0 ist rot(B) Null, also was bleibt noch übrig?
Vorsicht: du hast kein einfach zusammenhängendes Gebiet, wo rot(B)=0
Also die Rotation hab ich denke ich verstanden. Unterm Strich hat das Vektorfeld Wirbel, nur nicht bezüglich der Rotation "um" den Draht. Ich muss aber zugeben, dass mich der Bezug zum Satz von Stokes noch mehr verwirrt. Mal angenommen, man führt das Kurvenintegral nach Stokes in ein Fluss(Oberflächen-)integral der Rotation über. Dann integriert man doch über 0, so dass im Ergebnis nur die Konstante übrig bleibt. Auch gilt für das Integral ja 0<r<R.
Was meinst du mit "Konstante"? Welche Konstante?
Du musst unterscheiden zwischen der Rotation, die als vektorielle Größe einem Punkt zugeordnet ist, und dem Umlaufintegral, welches an einen Pfad gebunden ist.
Das Umlaufintegral kann man in ein Flächenintegral umwandeln:
∮ B*dl = ∫ rot(B) * dA
Stell dir nun mal vor, dass ein Strom mit einer konstantn Stromdichte J fließt, der auf den Drahtquerschnitt beschränkt ist. Dann zeigst du mit dem Ampere'schen Gesetz leicht, dass innerhalb des Drahtes
rot(B) =μ J
und außerhalb
rot(B)=0
ist.
Was ist dann dein FlächenIntegral über rot(B) ?
Wenn du dir das kurz überlegst ist das genau
∫ rot(B) * dA = ∫ μ j(x) dA = μI I...gesamter Strom durch A
Also hast du in Übereinstimmung mit dem Ampereschen Gesetz wiederum
∮ B*dl = μI
Es ist kein Widerspruch, dass an Stellen, wo kein Strom fließt die Rotation Null wird. Die Stellen wo Strom fließt liefern aber einen Beitrag zum Flächenintegral.
Die Beziehung rot(B) =μ J gilt allgemein und ist ein Naturgesetz.
Erstmal Danke für Antwort! Bin jetzt erst im 2. Semester Physik B.Sc., daher kenne ich die Beziehung zu den Maxwell Gleichungen leider nicht. Was ich aus mathematischer Sicht nicht ganz verstehe: Wieso liefert das Kurvenintegral nicht null? Eigt. müsste bei rot=0 ja Anfangspunkt=Endpunkt gelten. Im Gravitationsfeld z.B. sind geschlossene Kurvenintegrale ja auch immer Null.