Kurvenintegral berechnen, bei nicht gegebener Parametrisierungskurve?
Normalerweise ist ein Vektorfeld und dazu die Kurve gegeben, aber in diesem Fall ist sie das nicht und man soll jetzt von einem Punkt zum anderen das Kurvenintegral bilden. Also gehe ich mal davon aus, dass man sich so eine Parametrisierungskurve selber basteln muss. Nur wie? Oder geht es sogar einfacher? Die genaue Aufgabenstellung lass ich erstmal weg.
Bild Update der Aufgabe:
4 Antworten
Hallo,
Du musst bedenken diese Aufgabe wurde ohne jegliches Vorwissen aufgegeben. Es gab nicht ansatzweise etwas zu solchen Integrationen in der Vorlesung. Also gut, danke. Ich schau mal, was sich machen lässt.
Das ist nicht leicht, da muss man sich alles erarbeiten: die Theorie, die Definition, die Anwendung .
Das Thema lautet Kurvenintegral zweiter Art.
Hier noch ein Dokument mit Erklärungen und Beispielen (Uni Hamburg, ab Seite 2).
Ich hoffe, es hilft dir weiter.
Gruß
Ich verstehe allerdings noch nicht z.B. den Teil mit gama_1 [0, 1/2] und dann gamma_1(t)=(2tx_1,0,0)
Nun, es gilt
γ₁(0) = (0,0,0) , γ₁(1/2) = (x₁ ,0,0)
γ₂(1/2) = (x₁,0,0) , γ₂(1) = (x₁ ,y₁,0)
wie kamst du darauf?
Die Kurven γ sollten diese Gleichungen erfüllen , also habe ich es "passend gemacht". ;-)
Das muss man nicht so machen. Man kann auch t in beide Teilkurven γ_1 und γ_2 von 0 bis 1 variieren:
γ₁(t) = (tx₁,0,0) für t ∈ [0,1]
γ₂(t) = (x₁, ty₁, 0) für t ∈ [0,1]
Die obige Parametrisierung hat den Vorteil, dass man γ₁ und γ₂ durchläuft, wenn t das ganze Intervall [0,1] durchläuft.
Nun, es gilt
γ₁(0) = (0,0,0) , γ₁(1/2) = (x₁ ,0,0)
γ₂(1/2) = (x₁,0,0) , γ₂(1) = (x₁ ,y₁,0)
Also setzt du damit voraus, dass zum Durchlaufen des gesamtes Weges, der sich aus zwei gamma zusammensetzt genau eine Zeiteinheit verstreicht oder wie?
Habe übrigens angefangen ein wenig zu rechnen, ist es korrekt, dass das erste Integral von 0 bis 1/2 = 0 ist ? Kommt mir komisch vor, habe auch im Integranden eine 0 stehen
Nein, was für eine Zeiteinheit durchlaufen wird, ist egal. Man kann t auch von -14 bis +33 laufen lassen, wenn auf diesem Intervall γ(t) die geforderte Strecke durchläuft. Das Intervall [0,1] ist eine willkürliche Wahl.
Ich rechne das nachher mal nach, hab gerade keine Zeit. Bis später.
Man kann also willkürlich in diesem Falle wählen? Das klingt so komisch, aber bei allen anderen Aufgaben war so ein Intervall auch immer gegeben...
Hallo,
hier mal meine Rechnung: https://postimg.cc/5YJ3JxVT
Ich hoffe, ich habe keine Tippfehler und keine Rechenfehler.
Zu deiner Frage der Parametrisierung:
a) wähle f(t) = t , t ∈ [0,1] => f'(t) = 1 und (0 bis 1) ∫ f(t)f'(t) dt =
(0 bis 1) ∫ t•1 dt = [t²/2] (0 bis 1) = 1²/2 - 0²/2 = 1/2
b) wähle f(t) = 5t , t ∈ [0,1/5] => f'(t) = 5 und (0 bis 1/5) ∫ f(t)f'(t) dt =
(0 bis 1/5) ∫ 5t•5 dt = 25 • [t²/2] (0 bis 1/5) = 25 • 1/5² / 2 = 25/(2•25) = 1/2
ist es korrekt, dass das erste Integral von 0 bis 1/2 = 0 ist ? Kommt mir komisch vor, habe auch im Integranden eine 0 stehen
Das habe ich auch raus, das erste Integral (also Integral über gamma_1) ist Null.
Siehe meine Rechnung oben.
Habe nochmal nachgerechnet und kam auf exakt dasselbe Ergebnis wie du. Es scheint wohl so, als hättest du dich nicht verrechnet. Vielen Dank! Kann ich für den anderen Weg, der darauf folgt (s. zweite Teilaufgabe) auch das Intervall t Element [0,1] nehmen? Falls nicht, habe ich es immer noch nicht verstanden.
Meinst du den zweiiten Weg? Ja, das kannst du genauso machen.
Und dann gibt es ja noch den 3. Weg (diagonal) und den 4. Weg. Jedesmal muss das gleiche Ergebnis rauskommen.
Okay, danke nochmal. Aber was ist denn eine parabolische Bahn? Google ich das finde ich nur komplizierte Erklärungen unter dem Namen "Keplerbahn"...
Ich würde mir da keine weiteren Gedanken machen, sondern nur die Kurve so übernehmen, wie sie angegeben ist (in dem Fall x = t setzen):
(t, y(t), 0) = (t, [ (t/x₁)√y₁ ]² , 0) , mit t ∈ [0, x₁]
Vielen Dank für die hilfreiche Antwort und den ständigen Rückmeldungen.
So, ich habe nun alle Teilaufgaben erfolgreich bewältigen können, da in allen Fällen immer dasselbe Ergebnis herauskam. Folglich ist das Vektorfeld konservativ.
Super, da hast du sicher einige Blatt Papier vollgerechnet. :)
..da in allen Fällen immer dasselbe Ergebnis herauskam. Folglich ist das Vektorfeld konservativ.
Das ist ein starker Hinweis, dass das Vektorvfeld konservativ ist.
Ein Beweis, das dem so ist, wäre z.B. die Potentialfunktion f anzugeben,
so dass gilt: E = grad(f).
Die Funktion f : ℝ³ -> ℝ , f(x,y,z) = 3x²y - y³ erfüllt die Gleichung, denn es gilt
∂f/∂x = 6xy = Ex , ∂f/∂y = 3x² - 3y² = Ey , ∂f/∂z = 0 = Ez .
Danke für den formalen Beweis nochmal, ich weiß nicht, ob der Prof. sich das so gedacht hat, aber ich füge ihn noch bei :)
Es hat sich ein Fehler eingeschlichen (unten) :
Es gilt natürlich ∂f/∂x = 6xy
Da sind doch Kurven gegeben, sogar vier verschiedene, jeweils abschnittsweise Ich würde mal davon ausgehen, dass du zwischen den "Stützpunkten" jeweils gerade Strecken annehmen darfst.
Du musst bedenken diese Aufgabe wurde ohne jegliches Vorwissen aufgegeben. Es gab nicht ansatzweise etwas zu solchen Integrationen in der Vorlesung. Also gut, danke. Ich schau mal, was sich machen lässt.
Wobei Frage: Muss ich dann so etwas wie eine Geradengleichung in Vektorform entwickeln? Srry, falls das eine dumme Frage ist, wie gesagt, das ist das erste Mal.
Ist das Vektorfeld konservativ? Denn dann ist der "weg" zwischen beiden Punkten egal und du könntest einfach die direkte Verbindung der beiden nutzen.
Ansonsten müsste in der Aufgabe ein Hinweis versteckt sein wie der Weg verlaufen soll, falls nicht, würde ich trotzdem einfach den einfachsten Weg (also die direkte Verbindung) wählen. Dann ist dein Ergebnis halt Wegabhängig, aber viel mehr kann man sich dann ohne eine genauere Aufgabenstellung eh nicht vorstellen ;)
Ich habe die Frage jetzt mal ergänzt. Ich lese zumindest nicht heraus, dass es konservativ ist.
Ich lese zumindest nicht heraus, dass es konservativ ist.
Ich denke genau dies ist in Frage b) zu beurteilen, nachdem man a) gelöst hat.
da es sich um ein konservatives kraftfeld handelt, mit potential V(x,y,z)=3*x²*y-y³, ist das resultat unabhängig vom weg, und hängt nur von den endpunkten ab und lässt sich einfach als potentialdifferenz berechnen.
außerdem sind die verschiedenen wege in der angabe doch gegeben.
Ich verstehe allerdings noch nicht z.B. den Teil mit gama_1 [0, 1/2] und dann gamma_1(t)=(2tx_1,0,0) wie kamst du darauf?