Wie hängt der Betrag des Laplace-Runge-Lenz-Vektors mit der Exzentrizität der Keplerbahn zusammen?

Hallo, ich soll diesen Zusammenhang zeigen, als Hinweis ist gegeben, dass ich zuerst A r berechnen soll

mit A dem Laplace-Runge-Lenz-Vektor

dabei bin ich auf

$A\ r\ =L^{2\ }-\ mkr\$ gekommen. Aber wie mache ich jetzt weiter, um die Exzentrität mit ins Boot zu holen? Mein einziger Ansatz ist bisher die Formel für die Periheldistanz der Keplerbahn zu verwenden.

Damit komme ich auf:

$A\ =\ mk\epsilon$

Das erscheint mir aber ein komischer Lösungsweg, da wir die Formel noch nie verwendet oder hergeleitet haben.

Einzig die Bewegungsgleichung für das Gravitationspotential ist noch gegeben.

Ich wäre über jeden Tipp dankbar :)

Answer 1

[Clemens1973]

Damit komme ich auf:

$A\ =\ mk\epsilon$

Das ist richtig. Es gilt, wie Du schreibst,

$\vec A\,\vec r=L^2-mkr$

Das kann man umschreiben zu

$r(A\cos\varphi+mk)=L^2\, \text{ oder }\, r=\frac{L^2}{mk(1+\frac{A}{mk}\cos\varphi)}$

Anderseits gilt für eine Keplerbahn

$r=\frac{L^2}{mk(1+\varepsilon\cos\varphi)}$

Also gilt für den Betrag von A gerade

$A=mk\varepsilon$

Comments

[Flocke0n]

Danke! Es scheint also der einzige Weg, r für die Keplerbahn als bekannt vorauszusetzen?
Ich hatte auf eine Herleitung gehofft, die nur den Vekor A und das Gravitationspotential bedarf. Aber scheinbar ist es ohne die Zusatzinfo nicht zu funktionieren :)

[Clemens1973]

@Flocke0n

Gut, irgendeine Eigenschaft der Exzentrizität muss man als bekannt voraussetzen. Die Bahngleichung r=r(phi) wurde wahrscheinlich in der Vorlesung hergeleitet, insofern sollte man das auch verwenden dürfen. Und sonst kann man einfach noch etwas umformen, um auf

epsilon=e/a=1-2*r_min/(r_max+r_min)

zu kommen.