Orthogonale Komplement berechnen?
Gegeben seien folgende Räume:
U= Lineare Hülle des Vektors (1,1,1)
und V= Lineare Hülle der Vektoren (1,0,0) und (0,1,1)
Wie lautet das Orthogonale Komplement von U c V?
Als Lösung sollte die Lineare Hülle des Vektors (-2,1,1) rauskommen, wenn ich es aber ausrechne komme ich auf die Lineare Hülle der Vektoren: (-1,1,0),(-1,0,1) Könnte mir jemand erklären, wie man auf die richtige Lösung kommt?
LG
1 Antwort
Hallo,
was ist denn mit U c V gemeint?
Das orthogonale Komplement von U ist 2-dimensional, und zwar eine Ebene, die auf der durch den Ursprung O des Koordinatensystems und den Vektor (1,1,1) aufgespannten Gerade senkrecht liegt und O enthält.
Das orthogonale Komplement von V ist 1-dimensional, und zwar eine Gerade, die auf der Ebene, die durch O geht und von den Richtungsvektoren (1,0,0) und (1,1,1) aufgespannt wird, senkrecht steht und durch O geht.
Wie man noch sieht, ist U selbst ein Teilraum von V, da (1,0,0)+(0,1,1)=(1,1,1).
Vielleicht ist das orthogonale Komplement von U in V gemeint:
das ist eine Gerade durch O, die in V liegt und zu U senkrecht ist, und das erfüllt
span[(-2,1,1)] , denn es gilt (-2,1,1) ⏊ (1,1,1) und (-2,1,1) = -2•(1,0,0)+(0,1,1) .
Gruß
Man könnte folgendes Gleichungssystem lösen:
(i) <(1,1,1),(x,y,z)> = 0
(ii) a(1,0,0) + b(0,1,1) = (x,y,z)
< • , • > : sei das kanonische Skalarprodukt im ℝ³ .
Gleichung (i) ist die Bedingung, dass der gesuchte Vektor (x,y,z) zu U
senkrecht ist.
Gleichung (ii) besagt, dass der gesuchte Vektor (x,y,z) eine Linearkombination
der Vektoren ist, die V aufspannen.
Man findet
(ii) => a = x , b = y, b = z
(i) => a + 2b = 0 <=> a = -2b
also lautet ein möglicher Vektor (x,y,z) = (-2b, b, b) , b ≠ 0 .
Nun setzt man b = 1, dann hat man (x,y,z) = (-2,1,1), aber jeder Vielfache des Vektors wäre auch eine Lösung.
Vielen lieben Dank nochmal , dadurch habe ich das verstanden. Angenommen wir hätten eine Ebene gegeben, die den Nullvektor enthält also ein UVR ist mit span[(v1,v2,v3),(w1,w2,w3)] , wie lautet dann die Dimension des orthogonalen Komplement?
Gerne. Ist der Grundraum ℝ³, dann ist das orthogonale Komplement U zu span(v,w) eindimensional ( weil dim span(v,w) = 2 ). Es "komplementiert" span(v,w) so, dass span(v,w) ⊕ U = ℝ³ wieder den ganzen Raum ergibt.
Mit U c V ist gemeint, das U Teilmenge/Teilraum von V ist. Aber wie kommt man auf den span[(-2,1,1)]?, dass dieser es erfüllt ist mir klar. Das Problem ist, ich weiß nicht wie man ihn errechnet. Danke jetzt schonmal.