Wie bestimme ich das orthogonale Komplement zu U=span{(0, 1, 2)}?
Wenn man jetzt zwei Vektoren hätte, müsste man einfach den Normalenvektor bilden. Dieser wäre zu beiden Vektoren orthogonal und deshalb auch das orthogonale Komplement zu diesen. Und wie funktioniert das hier?
2 Antworten
Hierzu ein kleines Lemma das dir helfen könnte:
Sind A ein Orthogonalsystem (eine orthogonale linear-unabhängige Menge) und B ein Orthogonalsystem, sodass AUB eine Orthogonalbasis von V ist, dann sind Span(A) und Span(B) orthogonale Komplemente.
Was hat das mit deiner Frage zu tun? Immer wenn du eine Orthogonalbasis X = {v1,v2,...,vn} hast, dann nimmst du Dir eine Aufteilung von X in zwei Mengen, das sind Orthogonalsysteme die zusammen eine Orthogonalbasis bilden, also sind die Spans orthogonale Komplemente.
Bilde also eine Orthogonalbasis {(0,1,2),v2,v3}, diese v2 und v3 kann man mit bestimmten Verfahren finden (z.B. Basisauffüllverfahren + Gram-Schmidt-Verfahren), dann ist Span{v2,v3} das Orthogonale Komplement zu Span{(0,1,2)}.
LG
In deinem Fall geht es aber noch einfacher: Wenn eine Koordinate 0 ist kann man einen Vektor um 90° rotieren genau wie im R^2, indem man koordinaten vertauscht und eine Koordinate negiert, also (a,b) -> (b,-a), bzw hier (0,1,2)->(0,2,-1) = v2, diese Vektoren sind offensichtlich orthogonal aufeinander. Den dritten Vektor kriegst du wie du bereits weißt durch v3 = (0,1,2)xv2. LG
Eine einfache Methode wäre auch die Definition der Orthogonalität mit dem Skalarprodukt zu nutzen:
(sei t ≠ 0)
⟨t*(0,1,2), (x,y,z)⟩ = 0
⇒ 0*x + y + 2 z = 0
Das ist nun die Ebenengleichung für den gesuchten Vektorraum. Für diese eine Basis zu finden überlasse ich dir.