Berechnung von Untersumme mit n gegen unendlich?

Moin,

wie berechne ich die Untersumme für f= x+1 für n gegen Unendlich?

Ich habe jetzt

U= 1/n *[(1/n*0+1)+(1/n*1+1)+...+(1/n*(n-1)+1)]

Somit

U= 1/n*1/n*[(0+1)+(1+1)+(2+1)+...+(n-1+1)

Was 1/n²*[1+2+3+...+n] ergibt.

Mit der Formel 1+2+3+...+n=n*(n+1)/2 ergibt sich dann U=(1/n²)*n*(n+1)/2 also 1/2*n/n*(n+1)/n =1/2*1*1=1/2

Stimmt das soweit?

Für die Obersumme wäre es dann ja das gleiche nur statt der ersten klammer hinten ein (1/n*n+1) dran, oder?

Dann würde da ja aber folgendes stehen:

1/n²*[2+3+4+...+n+1]

Und urgendwie ergibt das ja keinen Sinn, oder?

Answer 1

[Rammstein53]

Die Untersumme über das Intervall [0,1] lautet:

$\sum_0^{n-1}\left(\frac{k}{n}+1\right)\ =\ n\ +\ \sum_0^{n-1}\frac{k}{n\ }=\ n\ +\ \frac{\left(n-1\right)}{2}$

Die Obersumme über das Intervall [0,1] lautet:

$\sum_1^n\left(\frac{k}{n}+1\right)\ =\ n\ +\ \sum_1^n\frac{k}{n}\ =\ n\ +\ \frac{\left(n+1\right)}{2}$

Jetzt müssen die Ergebnisse noch mit 1/n multipliziert werden:

$\left(n\ +\ \frac{n-1}{2}\right)\cdot\frac{1}{n\ }=\ \frac{3n-1}{2n}$ $\left(n\ +\ \frac{n+1}{2}\right)\cdot\frac{1}{n}\ =\ \frac{3n+1}{2n}$

Für n gegen Unendlich ergibt sich der Grenzwert zu 1.5

Answer 2

[eterneladam]

Du kannst aus der eckigen Klammer bei

U= 1/n *[(1/n*0+1)+(1/n*1+1)+...+(1/n*(n-1)+1)]

nicht einfach ein 1/n rausziehen und die Einsen stehen lassen, die werden dann zu n.

Vielleicht würde man besser in der Klammer addieren,

U= 1/n *[ 1/n*(0+1+.....+(n-1)) + 1*n ]

usw.

Comments

[Svykk97]

Aber wenn es in allen klammern mit 1/n multpliziert wird, kann ich das doch ausklammern?