Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen Bitte?

Weiss jemand wo der fehler ist

ufgabe 1 – Seilrolle mit zwei Seilen und fester Dehnsteifigkeit

Gegeben:

• Horizontales Seil (Seil 1), vertikales Seil (Seil 2)
• Radius r = 1 cm = 0,01 m
• Radius R = 3 cm = 0,03 m
• EA₁ = ½ EA₂
• Kraft F = 28 N wirkt am inneren Radius nach unten

1. Dehnungsgleichung:

F₁ / F₂ = EA₁ / EA₂ = ½

1. Momentengleichgewicht:

F · r + F₁ · R = F₂ · R

→ 28 · 0,01 + 0,03 · F₁ = 0,03 · F₂

→ 0,28 + 0,03 · F₁ = 0,03 · F₂

Einsetzen von F₁ = ½ · F₂:

0,28 + 0,015 · F₂ = 0,03 · F₂

0,28 = 0,015 · F₂

F₂ = 18,67 N

F₁ = 9,33 N

Lösung Aufgabe 1:

Seilkraft im horizontalen Seil: F₁ = 9,33 N

Seilkraft im vertikalen Seil: F₂ = 18,67 N

Leider werdem die werte als falsch dargestellt.

weiss jemand wo der fehler ist und kann mir vielleicht Helfen

vielen dank

Answer 1

[mihisu]

1. Dehnungsgleichung:

F₁ / F₂ = EA₁ / EA₂ = ½

Das ist zwar das erste Mal, dass ich mich mit Dehnsteifigkeit befasse. Aber, wenn ich mir die Definition der Dehnsteifigkeit anschaue, so wird bei diesem Schritt wohl der erste Fehler liegen. Dazu die folgenden Überlegungen...

Die Dehnsteifigkeit lässt sich auch als Verhältnis der Seilkraft zur Dehnung des Seils angeben...

$EA=\frac{F}{\varepsilon}$

Die Dehnung ist dabei als Verhältnis der Längenänderung zur Gesamtlänge definiert...

$\varepsilon=\frac{\Delta l}{l_0}$

Bei einer Winkeländerung Δφ ändert sich bei Radius r die Länge um die entsprechende Bogenlänge. Damit ist dann...

$\Delta l=r\cdot \Delta\varphi$

Setzt man das ineinander ein, erhält man...

$EA=\frac{F\cdot l_0}{r\cdot \Delta\varphi}$

Und damit dann im konkreten Fall...

${EA}_1=\frac{1}{2}\cdot {EA}_2$

$\rightarrow\quad \frac{F_1\cdot l_1}{r\cdot \Delta\varphi}=\frac{1}{2}\cdot \frac{F_2\cdot l_2}{R\cdot \Delta\varphi}$

$\rightarrow\quad \frac{F_1}{F_2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{l_2}{l_1}\cdot \frac{r}{R}$

Dementsprechend ist für das Verhältnis der beiden Seilkräfte nicht nur der Faktor 1/2 für das Verhältnis der Dehnsteifigkeiten relevant. Auch das Verhältnis der Seillängen und das Verhältnis der Radien ist hier meiner Rechnung nach relevant.

Die Seillängen kannst du der Skizze entnehmen. Wenn man annimmt, dass jeweils nur die Seilenden außerhalb der Rolle relevant sind (was der Fall sein dürfte, wenn die Seile fest genug aufgewickelt sind und aufgrund von genügend Reibung dann nicht gut nachrutschen können, sodass nur die Seilenden außerhalb der Rolle für die Dehnung relevant sind), erhält man l₁ = 4 cm und l₂ = 5 cm.

Damit komme ich dann auf...

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{l_2}{l_1}\cdot \frac{r}{R}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5\,\text{cm}}{4\,\text{cm}}\cdot\frac{1\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}=\frac{5}{24}\approx 0\text{,}208$

============

Momentengleichgewicht:

F · r + F₁ · R = F₂ · R

Da bist du anscheinend auch ordentlich durcheinander gekommen...

• Seil 1 führt doch zum inneren Rollenradius r = 1 cm. Warum hast du dann bei deiner Gleichung F₁ ⋅ R mit dem äußeren Rollenradius R = 3 cm stehen?
• Seil 1 ist doch so befestigt, dass es gemeinsam mit Seil 2 dem Zugseil entgegen wirkt. Warum steht dann das Drehmoment von Seil 1 bei dir auf der gleichen Seite wie das Drehmoment des Zugseils bzw. auf der entgegengesetzten Seite zum Drehmoment von Seil 2?

Richtig wäre doch wohl eher...

$F\cdot r=F_1\cdot r+F_2\cdot R$

============

Meine weitere Rechnung würde dann dementsprechend folgendermaßen lauten...

$F\cdot r=F_1\cdot r+F_2\cdot R$

$\xrightarrow{\frac{F_1}{F_2}=\frac{{EA}_1}{{EA}_2}\cdot \frac{l_2}{l_1}\cdot \frac{r}{R}}\quad F\cdot r=F_2\cdot \frac{{EA}_1}{{EA}_2}\cdot \frac{l_2}{l_1}\cdot \frac{r}{R}\cdot r+F_2\cdot R$

$\rightarrow\quad F\cdot r=F_2\cdot \left(\frac{{EA}_1}{{EA}_2}\cdot \frac{l_2}{l_1}\cdot \frac{r}{R}\cdot r+R\right)$

$\rightarrow\quad F_2=\frac{F\cdot r}{\frac{{EA}_1}{{EA}_2}\cdot \frac{l_2}{l_1}\cdot \frac{r}{R}\cdot r+R}$

$\rightarrow\quad F_2=\frac{28\,\text{N}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{5\,\text{cm}}{4\,\text{cm}}\cdot \frac{1\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}\cdot 1\,\text{cm}+3\,\text{cm}}$

$\rightarrow\quad F_2\approx 8\text{,}72\,\text{N}$

$F_1=\frac{{EA}_1}{{EA}_2}\cdot\frac{l_2}{l_1}\cdot \frac{r}{R}\cdot F_2\approx \frac{1}{2}\cdot\frac{5\,\text{cm}}{4\,\text{cm}}\cdot \frac{1\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}\cdot 8\text{,}72\,\text{N}\approx 1\text{,}82\,\text{N}$