Beweis zur Verkettung zweier linearer Funktionen

Hallo!

Ich soll zeigen, dass die Verkettung zweier linearer Funktionen wieder eine lineare Funktion ergibt. Leider bin ich kein Profi im Beweisen. Ich hab bisher:

Sei f: IR -> IR mit f(x) = ax+b und g: IR -> IR mit g(x) cx+d, mit a,b,c,d Element IR.

Die Verkettung f°g = a (cx+d)+b => acx+ad+b

und die Verkettung g°f = c(ax+b)+d => acx + cb +d

sind lineare Funktionen, bei denen sich die Steigungen der Geraden mulitpliziert haben.

=> Behauptung.

Ist das so ausreichend oder habe ich etwas nicht beachtet???

Answer 1

[Trilobit]

Das stimmt soweit, aber du hast zu viele Fälle betrachtet: Eine der Verkettungen g°f oder f°g kannst du weglassen, weil g und f jeweils beliebig sind - d.h. den Beweis für die Korrektheit der Behauptung auch nach Vertauschung der Funktionen hast du eh schon drin, sobald du einen der beiden geführt hast.

Was fehlt, ist eventuell noch die Zusammenfassung der Produkte als neue Koeffizienten e und f. Formsache.

Answer 2

[sk1982]

alles vollkommen richtig, genaugenommen ist acx+cb+d wieder genau eine lineare funktion ux+v mit u = ac und v = cb+d