Unterschied linearer Term, lineare Gleichung und lineare Funktion?

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Linearer Term: ist immer ein linearer Term "in einer Variablen" (nicht über das "in" wundern, das sagt man halt so).

Also z. B. ist

3 x - 4

ein linearer Term in x (aber ein konstanter Term in y, weil hier nirgendwo ein y drinsteht)

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Lineare Gleichung (wieder "in einer Variablen"):

linearer_Term_1 = linearer_Term_2

z. B. ist

3 x - 4 = 5 x + 6

eine lineare Gleichung in x

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Lineare Funktion: die Funktionsgleichung ist eine lineare Gleichung in der Funktionsvariablen

Allgemeine Form der Funktionsgleichung (explizite Form - hier steht f(x) für sich auf einer Seite der Gleichung):

f(x) = irgendein_Term_mit_x

(oder auch ein Term ohne x, etwas wie f(x) = 3 ist zulässig, das ist dann eine konstante Funktion)

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y = a x + b

ist zunächst einmal eine lineare Gleichung in y (mit 0 als Konstanter) und eine lineare Gleichung in x.

Eine Kurve bzw. ein Graph (genauer: eine Kurvengleichung bzw. die Gleichung eines Graphen) wird daraus, wenn wir x und y als Koordinaten eines Koordinatensystems auffassen.

Eine Funktionsbeschreibung wird daraus, wenn wir

f(x) = y

als Funktionsgleichung hinzunehmen.

Aber meistens nimmt man es nicht so genau mit der Unterscheidung zwischen

y = Term_in_x

und

f(x) = Term_in_x

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Zur Form

0 = a x + b

Das Skript kenne ich nicht, aber man kann allgemein folgendes tun:

Die allgemeine lineare Gleichung in x hat ja folgende Form:

c x + d = e x + f

Wir können auf beiden Seiten c x + d abziehen und erhalten:

0 = e x + f - (c x + d)

Diesen Ausdruck kann man vereinfachen:

0 = e x + f - c x - d

  = e x - c x + f - d

  = (e - c) x + (f - d)

Wir haben a und b hier noch nicht verwendet, können also a = e - c und b = f - d wählen. Damit wird aus obiger Gleichung

0 = a x + b

Da dies für beliebige (reelle) Zahlen c, d, e, f gilt und auch a und b nach Konstruktion reelle Zahlen sind, folgt hieraus die Behauptung.

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0 nimmt man, um eine einheitliche Form der Gleichung zu bekommen. Dann braucht man nicht mehr nachzudenken, welche Konstante man auf der einen Seite lässt.

Natürlich könnte man auch gleichbedeutend

b' = a x

(mit b' = -b)

schreiben - das ist zum Ausrechnen von x sogar besser, aber vermutlich geht es hier um die allgemeine Einführung in Gleichungen. Da ist es einheitlicher, wenn man auch z. B. schreibt

0 = a x² + b x + c

bzw.

0 = ax³ + b x² + c x + d

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Der Unterschied zu

y = a x + b

liegt darin, dass dies eine Gleichung in zwei Unbekannten ist, während 0 = a x + b eine Gleichung in einer Unbekannten ist.

In der Form

f(x) = a x + b

und

f(x) = 0

hat man die Nullstellensuche einer Funktion, das ist auch etwas, was man sehr oft machen muss. Auch hier nimmt man wieder die 0 statt einer beliebigen Konstanten als gesuchten Funktionswert, weil man die Gleichungen dann einheitlicher behandeln kann.

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Danke das klärt alle meine Fragen! Echt super!

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Linear und nichtlinear sowie Gleichung und Ungleichung (Oberbegriffe) sind 2 Paar verschiedene Schuhe. Linearität bezieht sich bei gleichungen auf den Exponenten der Unbekannten! Stehen an allen Unbekannten nichts (Exponent 1), dann sind es die linearen Gleichungen/Terme. In allen anderen Fällen sind sie nichtlinear, angefangen mit quadratisch, kubisch, mit ganzen oder gebrochenen Exponenten (Wurzeln) oder unbekanntem Exponent (Exponential - Logarithmus).

Eine Gleichung oder Ungleichung besteht immer aus 2 Termen, das sind die Glieder mit den Rechenzeichen, links und rechts des Gleichheitszeichen. Dann gibt es 2 Gleichungs"arten", die bestimmungsgleichung mit nur 1er Unbekannten und nur über diese können Lösungen gefunden werden. Dann die Funktionsgleichung mit mindestens 2 Unbekannten (Variablen). Diese führt aber nicht zur Lösung, sondern mit ihr wird solange mit Einsetzungs- oder Additions-Verfahren die Variablen verringert, bis nur noch eine Vorliegt und das ist ja dann die Bestimmungsgleichung!

y = ax + b ist eine andere Schreibweise für f(x) = ax + b. f(x) = ax + b ist die Funktionsschreibweise und macht deutlicher, welche Variable im Funktionsterm durch tatsächliche Werte ersetzt werden soll.

Der Begriff "Lineare Abhängigkeit" kommt mir dabei komisch vor, vielleicht aber auch, weil ich etwas anderes darunter verstehe... https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit

Natürlich kann jede lineare Gleichung in die Form 0 = ax + b gebracht werden - nämlich einfach durch Umstellen. Nimm an, Du hast

y = ax + b

Dann muss y ja entweder eine reele Zahl sein oder selbst ein linearer Term, somit kannst Du die Gleichung wieder in die Form bringen:

0 = (ax + b) - y

Falls y eine reelle Zahl ist, gilt mit c = b - y dann:

0 = ax + c

Falls y ein linearer Term ist, dann musst du eben den Term vereinfachen und kommst dann wieder auf die Form

0 = ax + b

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