Ganzrationale Funktion dritten Grades?

5 Antworten

Du kannst aus den Daten entnehmen, dass

f(0)=0

f'(0)=-1

f(1)=0

f'(1)=2

Das setzt du dann ein

( bei f' 3ax²+2bx+c )

0= d

-1= c

0= 1a+1b+1c+d

2= 3a+2b+c

Da du c und d schon hast, kannst du die weglassen. Also setzt du die beiden anderen Gleichungen ineinander ein.

0 = 1a+1b I × 2

2 = 3a+2b

_____

0 = 2a+2b

2 = 3a+2b

Dann subtrahieren

2 = a

Und b ist gleich 0 = 2 + 1b also b = -2

Die Formel ist dann

f(x)= 2x³-2x²-1x

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Mathe aktuell: bis zur 11ten Klasse

4 Unbekannte, 4 Bedingungen: lösbar. Dazu müssen wir 4 Gleichungen aufstellen.

f(x) = ax³+bx²+cx+d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

P(0/0):
0 =0+0+0+d
also:
d = 0

P(1/0):
0 = a + b + c

f'(0) = -1:
-1 = c

f'(1) = 2:
2 = 3a + 2b -1
3a + 2b = 3

aus 0 = a + b + c folgt mit c = -1:
a + b = 1

Wir haben also 2 Gleichungen übrig:
3a + 2b = 3 (1)
a + b = 1 (2)

aus 2 folgt:
b = 1 - a

eingesetzt in 1:
3a + (1 -a) = 3
nach a auflösen:
3a + 1 - a = 3
2a = 2
a = 1

in b = 1 - a eingesetzt:
b = 1 - a = 1 - 1 = 0

Damit lautet f(x):
f(x) = 1x^3 + 0x^2 + (-1)x + 0
f(x) = x^3 - x

Und so sieht der Graph aus:

..und siehe da, die Punkte stimmen und die Steigung in den Punkten auch.





 - (Schule, Mathe, Mathematik)

Nach der ersten Antwort habe ich den Rest schon selber hinbekommen,aber trotzdem vielen Dank. Das bestätigt noch mal,dass ich alles richtig gemacht habe :)

1
Wie bestimme ich daraus jetzt die Funktion mit den geforderten Eigenschaften?

Du schaust Dir an, was für Informationen gegeben sind, und was sie Dir bringen:

Der Graph verläuft durch den Ursprung

f(0) = 0

mit der Steigung -1 und

f'(0) = -1

schneidet die x-Achse im Punkt P(1|0)

f(1) = 0

mit der Steigung 2.

f'(1) = 2

4 Informationen, 4 Gleichungen, 4 Unbekannte. Passt.

Gleichungssystem aufstellen und mit einem Lösungsverfahren Deiner Wahl lösen.

f(0)=0

f‘(0)=1

f‘(1)=2

f(1)=0

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik und Naturwissenschaften

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