Wie kann ich die Aufgabe mit der Wendetangente berechnen, hab folgenden Ansatz?
Bestimmen sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph bei x = -1 die x-Achse schneidet und bei x = 1 einen Wendepunkt mit der Wendetangente y= -3/2 x + 5/2 hat.
f (x) = ax³ + bx² + cx+ d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f (-1) = 0 daraus folgt: f(-1) = -a + b - c + d
f'' (1) = 6a * 1 + 2b
Wendetangente: m = -3/2 (Steigung)
3ax² + 2bx + c = -3/2
Ich weiß nicht ob das stimmt und komme hier nicht weiter.
2 Antworten
Du brauchst ja 4 Gleichungen. f(-1)=0 stimmt schon einmal, also -a+b-c+d=0.
Wendepunkt bei x=1 bedeutet: f''(1)=0, also 6a+2b=0.
Dann ist am Wendepunkt die Steigung mit m=-3/2 angegeben (Steigung der Wendetangente), also f'(1)=-3/2.
Und die Wendetangente berührt die gesuchte Funktion bei x=1, d. h. der Funktionswert bei x=1 ist bekannt (x=1 in die Tangente einsetzen).
Nullstelle bei x=-1, daraus folgt -a + b - c + d = 0
Wendetangente bei x=1 mit dem Wert t(1) = 1, daraus folgt a + b + c + d = 1
Wendepunkt bei x=1, daraus folgt 6a+2b = 0
Steigung bei x=1 ist -3/2, daraus folgt 3a + 2b + c = -3/2
Aus den vier Gleichungen folgt
a = 1/2
b = -3/2
c = 0
d = 2
