Kann mir jemand folgende Aufgabe mit Gauß-Algorithmus lösen?
Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist. Ein Wendepunkt hat die Koordinaten (1|0). Die beiden Wendetangenten schneiden sich senkrecht. Lösen Sie die Aufgabe mit dem Gauß-Verfahren.
Danke schon mal im Voraus
3 Antworten
Hallo,
Du mußt aus den Angaben die richtigen Schlüsse ziehen.
Ganzrationale Funktion 4. Grades bedeutet:
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
Symmetrisch zur y-Achse bedeutet: Alle Terme, die ein x mit ungeradem Exponenten haben, fliegen raus:
f(x)=ax^4+cx^2+e
Davon bildest Du die erste und zweite Ableitung, weil es um Steigungen und Wendepunkte geht:
f'(x)=4ax^3+2cx
f''(x)=12ax^2+2c
Nun hast Du den Wendepunkt bei (1|0) gegeben, was zweierlei bedeutet:
f(1)=0, also a+c+e=0
f''(1)=0, also 12a+2c=0, was zu 6a+c=0 gekürzt werden kann.
Da Du drei Unbekannte hast, brauchst Du noch eine dritte Gleichung.
Die gewinnst Du aus den Angaben, daß die beiden Wendetangenten senkrecht aufeinanderstehen, was bedeutet, daß die Steigung der einen Wendetangente
der negative Kehrwert der Steigung der anderen Wendetangente ist, denn genau dann stehen beide senkrecht aufeinander.
Die andere Tatsache ist die Achsensymmetrie.
Wenn ein Wendepunkt bei x=1 liegt, muß der andere bei x=-1 liegen.
Wenn die Steigungen an diesen beiden Punkten negative Kehrwerte voneinander sind, dann bedeutet das: f'(1)=-1/f'(-1)
Also: 4a+2c=-1/(-4a-2c)=1/(4a+2c)
Multiplikation mit (4a+2c) auf beiden Seiten ergibt:
(4a+2c)²=1 und damit nach Ziehen der Wurzel:
4a+2c=1 (wobei auch -1 eine Lösung sein könnte, denn das Ziehen einer Wurzel ist keine Äquivalenzumformung).
Du wirst daher zwei gültige Lösungen bekommen, die sich nur durch ihre Vorzeichen unterscheiden.
Gleichungssystem:
I: a+c+e=0
II: 6a+c=0
III: 4a+2c=1 oder III: 4a+2c=-1
Die Lösung für den Fall 4a+2c=1 siehst Du im anhängenden Bild.
Herzliche Grüße,
Willy
f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3 + c * x ^ 2 + d * x + e
e ist hier nicht die Eulersche Zahl !
Symmetrisch zur y-Achse bedeutet, alle ungeraden Exponenten fallen weg :
f(x) = a * x ^ 4 + c * x ^ 2 + e
Kann man umbenennen :
f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 2 + c
Davon die Ableitungen bilden :
f´(x) = 4 * a * x ^ 3 + 2 * b * x
f´´(x) = 12 * a * x ^ 2 + 2 * b
f´´´(x) = 24 * a * x
Für einen Wendepunkt gilt :
f´´(x_w) = 0 und f´´´(x_w) ≠ 0
Die beiden Wendetangenten schneiden sich senkrecht, außerdem die Symmetrie beachten -->
(4 * a * (1) ^ 3 + 2 * b * (1)) * (4 * a * (-1) ^ 3 + 2 * b * (-1)) = -1
(4 * a + 2 * b) * (-4 * a - 2 * b) = -1
-16 * a ^ 2 - 16 * a * b - 4 * b ^ 2 = -1
Also hat man jetzt -->
I.) a * (1) ^ 4 + b * (1) ^ 2 + c = 0
II.) 12 * a * (1) ^ 2 + 2 * b = 0
III.) -16 * a ^ 2 - 16 * a * b - 4 * b ^ 2 = -1
Kann man vereinfachen :
I.) a + b + c = 0
II.) 12 * a + 2 * b = 0
III.) -16 * a ^ 2 - 16 * a * b - 4 * b ^ 2 = -1
Auf das Gauß-Verfahren habe ich keine Lust -->
Es gibt zwei Lösungen :
a = - 1 / 8 und b = 3 / 4 und c = - 5 / 8
und
a = 1 / 8 und b = - 3 / 4 und c = 5 / 8
Überprüfung mit GeoGebra -->
Wie man an den Bildern sehen kann, stehen die Wendetangenten aufeinander :
Klicken, um die Bilder zu vergrößern !
Weißt du was das Gaußverfahren ist?
Kannst du aus den Angaben ein LGS erstellen?