Mathe-Kurvenanpassung-Ganzrationale Funktion?

2 Antworten

Eine ganzrationale Funktion hat allgemein die Form

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n

Die Funktion ist durch die Koeffizienten eindeutig bestimmt und umgekehrt, die Funktion zu bestimmen ist also gleichbedeutend damit, die Koeffizienten zu bestimmen.

Nun zu den einzelnen Bedingungen:

0) Die Funktion ist zur y-Achse symmetrisch

d. h.

f(x) = f(-x)

(Änderungen des Vorzeichens von x ändert nichts)

Eingesetzt in obige Funktionsgleichung:

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n

f(-x) = a_0 - a_1 x + a_2 x^2 - a_3 x^3 + - ... +- a_n x^n

(wobei das letzte Vorzeichen + ist bei geradem n und - bei ungeradem n)

Wegen f(x) = f(-x) :

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n

= a_0 - a_1 x + a_2 x^2 - a_3 x^3 + - ... +- a_n x^n

Da beide Ausdrücke gleich sein sollen und zwei solche Terme dann und nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, folgt:

a_0 = a_0

a_1 = -a_1

a_2 = a_2

...

a_n = +/- a_n

d. h.

a_0 ist hierdurch nicht bestimmbar (a_0 = a_0 ist immer erfüllt)

a_1 = 0

a_2 ebenfalls nicht bestimmbar

a_3 = 0

...

Also: alle Koeffizienten zu geraden Potenzen von x bleiben stehen, alle Koeffizienten zu ungeraden Potenzen von x verschwinden.

(Deshalb nennt man eine Funktion, die symmetrisch zur y-Achse ist, auch eine "gerade Funktion".)

-----

Jetzt müssen wir die Bedingungen noch in Gleichungen übersetzen:

a)

Der Graph geht durch (x|y) = (0|0)

f(0) = 0

Der Graph hat bei x0 = 3 eine Nullstelle

f(3) = 0

Die Steigung in dieser Nullstelle beträgt -48 (unter [2;0] kann ich mir hier nichts vorstellen)

f'(3) = -48

(Ich gehe davon aus, dass du Ableitungen kennst)

b)

(1|3) ist Wendepunkt des Graphen

f(1) = 3 (Punkt gehört zum Graphen)

f''(1) = 0 (Bedingung für Wendestelle)

die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -2

f'(1) = -2

-----

Aus diesen Gleichungen müssen die Koeffizienten a_0, a_2, ... a_n bestimmt werden.

Wir haben hier 6 Gleichungen, damit können wir (bis zu) 6 Unbekannte bestimmen.

D. h. wir müssen mindestens 6 Koeffizienten ansetzen, also

a_0, a_2, a_4, a_6, a_8, a_10

Ich kenne nur 1 Funktion,die in Frage kommen könnte.

f(x)=a4*x⁴+a2*x² eine ganzrationela Funktion 4.ten Grades

Diese sieht aus,wie ein "W"

f(x)=a4*x⁴+a2*x² abgeleitet

f´(x)=4*a4*x³+2*a2*x

1. 3^4*a4+3^2*a2=0 aus der Nullstelle P(3/0)

2. 4*a4*3^3+2*a2*3=-48 aus der Steigung bei x=3 mit m(3)=-48

Wir haben hier nun ein "lineares Gleichungssystem" (LGS) mit 2 Unbekannten a4 u. a2 und 2 Gleichungen ,also lösbar.

dies schreiben wur nun um ,wie es im Mathe-Formelbuch steht.

1. 81*a4+9*a2=0

2. 108*a4+6*a2=-48 Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)

a4=-8/9 und a2=8

ergibt die Funktion  f(x)=-8/9*x⁴+8*x² diese sieht aus,wie ein "W"

Nullstellen bei x1=-3 x2=0 und x2=3 und f´(3)=-48

Spiegelung an der x-Achse f(x)=-1*f(x)

Mehr weiß ich auch nicht.

Was bedeutet denn -48 (2/0)?

 

Vielen Dank hat mir sehr geholfen.

Und mit  -48 (2/0) konnte ich auch nichts anfangen aber ich glaube das was ich jetzt verstanden und notiert habe ist glaube ich mehr als genug zum Nachholen.

Klasse den Rest kann ich jetzt selbst erledigen

Danke :) !

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@chris090800

TIPP: Besorge dir privat einen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe.

Du kannst mit einen GTR alle möglichen Kurven zeichnen lassen und eine komplette Kurvendiskussion durchführen.

Ohne solch ein Ding,kannst´e gleich einpacken!

Die Kinder der Reichen,haben alle solch ein Ding oder sogar vielleicht noch obendrein einen Privatlehrer.

Darum haben die auch so gute Noten.

Nur 5% der Schüler sind hochbegabt,IQ 130 u. mehr.

95% liegen alle um einen IQ von so 100.

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