Ganzrationale Funktion bestimmen, Hilfe
a) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vom grad 5, deren Graph symmetrisch zum Ursprung ist und in P(-1/1) eine Wendetangente mit den Anstieg 3 hat. b) bestimmen Sie eine gerade rationale Funktion vom grad 4, deren Graph in P(1/0) eine Wendetangente mit dem Anstieg 1 hat. Geben sie alle Extrempunkte an.
Kann mir da jemand helfen? Wir müssen das nach den Ferien abgeben und ich war davor nicht da..
7 Antworten
Zu a) kennst du den " Pfeifer " von ===> Reinhart Mey? ( Youtube ) Eine witzige Parodie; dort heißt es
" Man nennt mich hier den Denker ... "
Ich bin mir da absolut sicher; so wie sich dein Lehrer das denkt, kommt da gar nix bei raus. Ich mach das immer mit schmuddeltricks; das ist quasi mein Ehrgeiz. Für Leute, die " holistisch " denken; etwas " sehen "
Meine Idee erklär ich dir jetzt mal ganz langsam, damit du auch einverstanden bist. Voraus gesetzt war Punktsymmetrie
f ( x ) := a5 x ^ 5 + a3 x ³ + a1 x ( 1a )
f ' ( x ) = 5 a5 x ^ 4 + 3 a3 x ² + a1 ( 1b )
f " ( x ) = 20 a5 x ³ + 6 a3 x (1c )
Ich geruhe jetzt, dein Augenmerk auf den Umstand zu lenken, dass die 2. Ableitung ( 1c ) EBEN FALLS Punkt symmetrisch ist. Was heißt das?
f " hat eine Nullstelle im Ursprung x2 = 0 Dann natürlich noch den WP bei x1 = ( - 1 ) Du solltest aber immer symmetrisch denken; natürlich hat f " noch eine dritte Nullstelle x3 = 1 entsprechend einem gespiegelten WP.
( Beide Begründungen folgen je getrennt aus der Symmetrie; die Nullstelle und der WP . ) Bis auf den ===> Leitkoeffizienten k hast du eifentlich alles beisammen:
f " ( x ) = k x ( x + 1 ) ( x - 1 ) = ( 2a )
= k ( x ³ - x ) ( 2b )
Bisher sehe ich nur eine Unbekannte. Die Kollegen von " Lycos " sprechen hier von " Aufleiten " ===> integrieren ===> Stammfunktion ( ist wirklich nix Schweres; rückwärts Denken hat mich im Leben schon oft weiter gebracht. )
f ' ( x ) = k ( 1/4 x ^ 4 - 1/2 x ² ) + C ( 3a ) ; C = ===> Integrationskonstante
f ( x ) = k ( 1/20 x ^ 5 - 1/6 x ³ ) + C x ( 3b )
Die Integrationskonstante D ist Null; warum? D.h. statt wie dein Lehrer mit 3 Unbekannten a1;3;5 sehe ich hier nur die beiden k und C .
Claro, was du in ( 3a;b ) einzusetzen hast?
Ich weiß leider nicht, ob hier in diesem forum auch Ergänzungen gestattet sind. Darum zu Aufg. b) Abermals bin ich im Vorteil und euer Pauker im Nachteil, weil ICH nämlich meine Hausaufgaben gemacht habe. Was du wegen der Symmetrie bekommst, ist eine biquadratische Funktion ( BQF )
f ( x ) := x ^ 4 - p x ² + q ( 4a )
Für ( 4a ) habe ich nun eine Kategorienlehre aufgestellt. An sich sagt Einem ja schon der gesunde Menschenverstand, dass es Regeln geben musss für p und q . Diese Regeln, so weit sie uns betreffen, diktiere ich nunmehr für Spickzettel und Regelheft.
Die ===> Topologie der Kurve hängt nur von p ab. Für p < 0 hast du V-Form so ähnlich wie Parabel mit dem ( absoluten ) Minimum bei x = 0 und
f ( min ) = q ( 4b )
Im falle p > 0 hast du W-form; ( 4b ) entspräche dann der mittleren Spitze des W , einem ( lokalen ) Maximum . die beiden ( absoluten ) Minima, entsprechend der linken und rechten Spitze des W, liegen bei
x1;2 ( min ) = -/+ sqr ( p/2 ) ( 4c )
f ( min ) = q - ( p/2 ) ² ( 4d )
Nur weil du die WP zur Kurvenbestimmung hast. Zwischen den Extrema und den WP besteht eine feste Proportionalität ( Plotte das ruhig mal alles übersichtlich raus )
x ( min ) = x ( w ) sqr ( 3 ) ( 4e )
Sag selbst; kann ich's dir noch Mund gerechter vor kauen? sooo genau weiß das nicht mal dein Lehrer ...
Ganzrationale Funktion vom Grad 5 heißt: f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f Für die a) musst du nun die Werte für a, b, c, d, e und f herausfinden, dann bist du fertig. Symmetrisch zum Ursprung heißt, dass einige der Koeffizienten 0 sein müssen (die Funktion muss gerade sein, damit die Symmetrie erfüllt ist). Dann bildest du die zweite Ableitung und die erste Ableitung und verwendest die anderen Bedingungen. Schon hast du alle Faktoren bestimmt. b) geht ähnlich nur mit Grad 4.
Zur Symmetrie:
Du hast es ja mit ganzrationalen Funktionen zu tun. Bei denen gilt folgendes:
Wenn der Graph symmetrisch zum Ursprung verläuft, kann der Funktionsterm nur ungerade Exponenten haben; damit vereinfacht sich von vornherein Dein Funktionsterm bei a) zu f(x) = a·x^5 + b·x³ + c·x. Daher nennt man solche Funktionen allgemein auch ungerade Funktionen.
Damit benötigst Du auch "nur" drei Informationen, die Dir durch Punkte auf dem Graphen und andere Eigenschaften gegeben sind. Beispiel: Der Punkt (-1|1) liegt auf dem Graphen, also muss die Funktion an der Stelle x = - den Wert 1 annehmen; also: f(-1) = 1. Für die Steigung gilt dann f'(1) = 3, und da es ja auch noch ein Wendepunkt ist, muss dort der Graph ungekrümmt sein, also gilt auch noch f''(-1) = 0.
Aus diesen drei Gleichungen erhältst Du ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten a, b, c, das Du löst. Lösung bei bmoni.
Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, spricht man von einer geraden Funktion. Eine ganzrationale Funktion hat dann nur gerade Exponenten. Für b) lautet Deine Funktion also g(x) = a·x^4 + bx² + c.
Ansonsten ist das weitere Vorgehen wie bei a).
Kennst du aus " Asterix und Kleopatra " die Szene mit den streikenden Arbeitern? " Unzufrieden; unzufrieden ... " An der Uni wären so Aufgaben wie deine a) überhaupt nicht zugelassen ===> schlechte Konditionierung ===> lineare Abhängigkeit. Du irrst nämlich, wenn du vermeinst, die beiden Gleichungen ( 1.3ab ) sind für die beiden Unbekannten k und C hinreichend. Das kann man auch Schülern nahe bringen, die nicht wissen, was eine ===> Determinante ist. Setzen wir erst mal x = 0 . Dann entartet ( 1.3b ) zu der viel sagenden Aussage 0 = 0 In ( 1.3a ) hast du C = f ' ( x ) Über den Leitkoeffizienten k erfahren wir nichts. Wenn jetzt x < > 0 , dürfen wir ( 1.3b ) durch x kürzen; lineare Abhängigkeit stellt sich jetzt ein, wenn in beiden Gleichungen ( 1.3ab ) auf der linken Seite das Selbe steht; d.h. der Koeffizient von k ist gleich.
1/4 x ^ 4 - 1/2 x ² = 1/20 x ^ 4 - 1/6 x ² | * HN ( 3.1a )
15 x ^ 4 - 30 x ² = 3 x ^4 - 10 x ² ===> x1;2 ( krit ) = -/+ sqr ( 5/3 ) = ( 3.1b )
= 1.291 ( 3.1c )
Und dieser ===> Eigenwert liegt gefährlich nahe bei deinem Eins.
Was passiert jetzt genau an der kritischen Stelle? Entweder ( 1.3b ) präsentiert weiter nichts als eine Wiederholung von ( 1.3a ) ; dann ist sie überflüssig. Oder sie widerspricht ihr sogar; schließlich bin ich in der Wahl der rechten Seite frei. Mitunter kann die 100. Nachkommastelle entscheiden, ob lösbar oder nicht. Diese Instabilität, die stark an den Schmetterlingseffekt erinnert, ist mit schlechter Konditionierung gemeint.
Und jetzt stell dir mal vor, ich hätte mich auf 3 Unbekannte a1;3;5 eingelassen statt nur zwei. Das wird doch alles nur beliebig unübersichtlich.
Übrigens: Aufg. b) ist NICHT schlecht konditioniert.
Hast du mal in dein Buch geschaut?
Die Funktionen haben allgemein die Form
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
bzw.
f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g
Du hast in der Aufgabenstellung diverse Informationen (Symmetrie, Wendepunkte, Steigungen, ...), die du in die Funktionsgleichungen bzw. deren Ableitungen einsetzen musst. Dann erhältst du ein LGS mit 4 bzw 5 Gleichungen und den unbekannten a-e bzw a-g, das du nur noch lösen musst.