Funktionsgleichung für ganzrationale Funktion dritten Grades aus Extrempunkt und Wendepunkt aufstellen?
Servus, ich muss die Aufgabe morgen präsentieren. Nur leider versteh ich das ganze nicht so. Könnte mir eventuell jemand helfen?
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt den Extrempunkt E(-2|9/2) und den Wendepunkt W(-1|7/2).
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von g.
5 Antworten
f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao
f´(x)=3*a3*x^2+2*a2*x+a1
f´´(x)=6*a3+x+2*a2
mit den Punkten P1(-2 .9/2) und P2(-1 .7/2) hat man schon 2 Gleichungen
1) f(-2)=9/2=......
2) f(-1)=7/2= .....
3) f´(-2)=0=.... mit den Extrempunkt bei P1(-2..9/2) also x=-2
4) f´´(-1)=0=... mit den Wendepunkt bei x=-1
wir haben hier ein "lineares Gleichungssystem" (LGS) mit 4 Unbekannte , a3,a2,a1 und ao und 4 Gleichungen,also lösbar.
Das schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.
Mit den eingesetzten Werten ergibt sich
1) -8*a3+4*a2-2*a1+1*ao=9/2
2) -1*a3+1*a2-1*a1+1*ao=7/2
3) 12*a3-4*a2+1*a1+0*ao=0 aus der Extremstelle f´(-2)=0
4) -6*a3+2*a2+0*a1+0*ao=0 aus den Wendepunkt f´´(-1)=0
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) a3=1/2 und a2=1,5 und a1=0 und ao=2,5
gesuchte Funktion y=f(x)=0,5*x^3+1,5*x^2+2,5
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form dabei sind a,b,c und d reelle Zahlen.
Da a,b,c und d also ganz "normale" Zahlen sind ergeben sich die ersten beiden Ableitungen (die benötigen wir später noch) zu:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f(-2)=9/2 : -8a+4b-2c+d=9/2
f'(-2)=0 : 12a-4b+c=0
f(-1)=7/2 : -a+b-c+d=7/2
f''(-1)=0 : -6a+2b=0
Dieses Gleichungssystem lösen und a, b, c und d bestimmen.
Du brauchst für die 4 Parameter 4 Informationen. Die hast du:
2 Punkte, 1 Extremum und 1 Wendepunkt.
Einfach die Punkte in die Funktionsgleichung
ax^3 + bx^2 + cx + d einsetzen,
das Extremum in die erste Ableitung
3ax^2 + 2bx +c
und den Wendepunkt in die zweite Ableitung
6ax + 2b
und gerade ausrechnen.
yschade, dass du so spät anfängst;
y = ax³ +bx² + cx +d
f(-2)= 9/2
f '(-2) =0
f(-1) = 7/2
f " (-1) = 0
Gleichungssystem lösen