Wendepunkte bei ganzrationalen Funktionen?
Hallo die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie:
a) Jede ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad größer als 1 hat mindestens einen Wendepunkt
b) Fehlt bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades der quadratische Summand, so liegt der Wendepunkt auf der y-Achse
Das Problem ist ich weiß nicht wie ich vorgehen muss bzw. ich verstehe die Aufgabenstellung nicht
Kennst du die Bedingungen für Wendepunkte?
ja
2 Antworten
a)
Ein Wendepunkt ist der Punkt zwischen einem Tiefpunkt (TP) und einem Hochpunkt (HP). Funktionen mit ungeradem Grad größer als 1 (z.B. x^3 oder x^5) haben mindestens einen Wendepunkt, da die Funktion zuerst Steigt dann kurz eben bleibt und dann weiter steigt.
b)
Ohne einen quadratischen Summanden (z.B. x^3 +2) ist der Graph in der Mitte und somit der Wendepunkt auf der Y-Achse.
1) eine Funktion hat an einer Stelle einen Wende-Punkt, wenn die 2. Ableitung an der Stelle das Vorzeichen wechselt.
Da der Grad der Funktion ungerade ist und größer als 1 (also mindestes 3) ist, hat die zweite Ableitung einen ungeraden Grad von mindestens 1.
Ganzrationale Funktionen mit ungeraden Grad haben immer mindestens eine Stelle, wo das Vorzeichen gewechselt wird (zur Begründung reicht es aus, das Grenzverhalten der Funktionen zu betrachten)
Somit hat die Funktion mindestens einen Wendepunkt.
2)
Eine Funktion 3. Grades ohne quadratischem Term hat folgende Form:
ax^3+cx+d
Bestimme die 2. Ableitung und begründe, dass diese bei x=0 das Vorzeichen wechselt