Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt einer ganzrationalen Funktion dritten Grades liegt immer ein Wendepunkt, wieso?

Angenommen du hast eine Funktion mit einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt. Dann hat die Ableitung an beiden Stellen eine Nullstelle. Das heißt, dass die Ableitung zwischen diesen beiden Nullstellen wieder einen Hoch-/Tiefpunkt besitzen muss, denn sie geht nach der ersten Nullstelle in eine Richtung, kommt dann aber irgendwann wieder zur 0 zurück.

Sie muss sozusagen umdrehen und dabei entsteht dann bei der Ableitung immer ein Hoch-/Tiefpunkt. Also hat die ursprüngliche Funktion zwischen den beiden Extrema einen Wendepunkt, weil der genau da ist, wo die Ableitung einen Hoch-/Tiefpunkt hat.

Das gilt übrigens für jede Polynomfunktion, also auch wenn du was mit x^20 hast.

Wenn man den Grenzwert ins negative Unendliche und ins positive Unendliche bildet, ist es bei allen Polynomen n-ten Grades, dieser gerade ist, so, dass die Funktion ins positive Undendliche geht (da (-1)^x=1^x, wenn x gerade).

Bei ungeraden Graden, wie der des Polynom 3. Grades, geht der Grenzwert vom negativen Undendlichen auch ins negative unendliche und für den positiven undendlichen Grenzwert ins positive Undenliche (da (-1)^x=-1 und 1^x=1 für alle ungeraden x wie x=3)