Wie stellt man eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades auf?
Hochpunkt (0/0), Extremstelle bei x = 3, Wendepunkt (1/11)
3 Antworten
Eine Steckbriefaufgabe führt immer zu einen "linearen Gleichungssystem" (LGS),was dann gelöst werden muß
Wendepunkt bedeutet,es muß mindestens eine ganzrationale Funktion 3.ten Grades sein
- f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao mit P(0/0) also x=0 ist ao=0
- f´(x)=0=3*a3*x^2+2*a2*x+a1 Extrema bei P(0/0) und x=3
Dies führt bei Gleichung 2. zu einen Widerspruch
0=3*a3*0^2+2*a2*0+a1 also muß a1=0 sein aber außerdem soll sein
0=3*a3*3^2+2*a2*3+a1 hier soll also a1 ungleich Null sein !! beides geht aber nicht
Somit ist die Aufgabe nicht lösbar
genau so mit einer Funktion 4.ten Grades
- f(x)=a4*x^4+a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao auch hier ao=0
- f´(x)=0=4*a4*x^3+3*a3*x^3+2*a2*x+a1
auch hier das selbe Problem mit x=0 muß a1=0 sein
und mit x=3 soll a1 ungleich Null sein
geht also nicht.
Ganzrationale Funktion möglichst niedriger Ordnung? -
Kann eine Funktion der Ordnung 1, also f(x) = ax + b einen Wendepunkt haben? - nö, also fällt die schon mal raus.
Kann eine Funktion der Ordnung 2, also f(x) = ax^2 + bx + c einen Wendepunkt haben? - nö, also fällt die ebenfalls raus.
Kann eine Funktion der Ordnung 3, also f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d einen Wendepunkt haben? - ja, also kommt die in Frage. Sonstige Angaben berücksichtigen gibt dann schwuppsdiwupps die fehlenden unbekannten Größen a, b, c und d.
Vierten Grades ginge doch.
Bei diesen Angaben aber kommst Du auf f(x)=x^4-8x^3+18x^2 und das hat bei (0|0) keinen Hoch-, sondern einen Tiefpunkt.
Hallo,
bist Du sicher, daß Du nirgends ein Vorzeichen übersehen hast?
Herzliche Grüße,
Willy
Dann reichen die Angaben nicht.
Es gibt nur eine Funktion 4. Grades, die die Bedingungen erfüllt, bei der bei (0|0) aber kein Hochpunkt, sondern ein Tiefpunkt vorliegt, nämlich
f(x)=x^4-8x^3+18x^2
Für eine Funktion höheren Grades reichen die Angaben nicht aus.
Da aber sonst alles paßt, schätze ich, daß bei der Aufgabenstellung einfach Hoch- und Tiefpunkt verwechselt wurde.
Dritten Grades geht nicht, weil der Wendepunkt dann genau zwischen den beiden Extrempunkten liegen müßte, also bei x=1,5.
Du brauchst mindestens eine Funktion 4. Grades.
Das klappt aber auch nicht,
Wenn bei (0|0) ein Hochpunkt und bei (1|11) ein Wendepunkt sein soll, brauchst Du zwischen beiden noch ein Minimum. Zusammen mit dem Extremwert bei x=3 sind das vier Extremwerte, also eine Funktion 5. Grades.
Dafür aber reichen die Angaben nicht aus.