Wie viele Hochpunkte kann eine Funktion 9. Grades höchstens haben?
Also
1. ich weiß, dass so eine Funktion 8 Extremstellen hat, aber ich weiß nicht warum... :( eine Erklärung wäre super hilfreich
2. in der Fragestellung steht ja Hochpunkte.. heißt das es gibt höchstens 4 Hochpunkte? Denn zwischen 2 hochpunkten muss es ja immer einen Tiefpunkt geben (oder?) Liege ich falsch?
Eine kurze Erläuterung wär wirklich nett
Danke im Voraus :)
4 Antworten
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt folgendes:
"Sei p ein Polynom vom Grade n, mit nicht verschwindenen Koeffizienten bei der n-ten Potenz. So besitzt p in C, den komplexen Zahlen, immer genau n Polstellen, welche nicht unterschiedlich sein müssen."
Daraus lässt sich dann ableiten, dass jedes Polynom p vom Grade n als Produkt von Linearfaktoren in der Form:
p(z) = a*(z - z0)*...*(z - z_(n-1)) , geschrieben werden kann.
Dabei sind z_(i) die Nullstellen des Polynoms p auf C.
Beschränken wir nun z auf IR, die reellen Zahlen, so gilt:
"Ein Polynom vom Grade p mit nicht verschwindenen Koeffizienten bei der n-ten Potenz besitzt maximal n Nullstellen in IR. "
Dies bedeutet, dass p über IR nicht immer in Linearfaktoren zerlegt werden kann. Im Falle reeller Koeffizienten jedoch gilt, dass die Polstellen stets als komplex konjugierte Paare auftreten, falls ihre Natur komplex ist, aus Gründen die ich hier nicht weiter ausführen möchte. Dies bedeutet, dass wir gerade Teilpolynome finden können, welche sozusagen dann die Faktorisierung wieder ermöglichen für diesen Speziallfall, zwar nicht aussschließlich in Linearfaktoren, aber Teilweise. Ein Beispiel wäre:
p(x) = x^3 + x = (x - 0)*(x² + 1)
mit x² + 1 > 0 für alle x aus IR.
Wobei gilt: (x² + 1) = (x + i)(x - i) , mit i² = -1
Für x aus C würde folgen:
p(x) = (x - 0)(x - i)(x + i)
Nun nach dieser Einführung zu deinen Fragen:
1.) p sei Polynom 8.Grades ----> maximal 8 Nullstellen (siehe oben)
Wenn also p die Ableitung von P ist, so folgt, dass maximal 8 Extrema vorliegen können (Stellen an denen die Ableitung 0 ist + etwas mehr ... ).
2.) Ein Hochpunkt liegt vor, wenn die erste Ableitung verschwindet und die zweite Ableitung negativ ist.
---> Die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle durchführt. (Die Funktion hat zuvor zugenommen, daher positive Steigung, und hinter dem Hochpunkt muss sie abnehmen, daher negative Steigung)
Liegt ein Minimum vor, so erfolgt ein Vorzeichenwechsel von - nach + von der ersten Ableitung.
Da die Funktion nun stetig ist, und unter der Annahme, dass alle Punkte Extrema sind, muss bei jedem Extremum ein Vorzeichenwechsel stattfinden, wobei auf ein Vorzeichenwechsel in die eine Richtung nur ein Vorzeichenwechsel in die andere Richtung folgen kann.
Bsp: Zunächst + -> - , dann kann beim nächsten mal nur von - nach + gewechselt werden.
Somit kann die maximale Zahl der Hochpunkte nur 4 sein für ein Polynom P 9.Grades dessen Ableitung ein Polynom p 8.Grades ist.
Denn zwischen 2 hochpunkten muss es ja immer einen Tiefpunkt geben (oder?)
Richtig. Da liegt der Hase im Pfeffer.
Eine Funktion 9. Grades hat maximal 8 Extremstellen (die Ableitung ist vom Grad 8, hat also max. 8 Nullstellen), also existieren maximal 4 Hochpunkte (oder weniger).
LG Willibergi
Weil die Ableitung eine Funktion 8. Grades ist. Diese hätte maximal 8 Nullstellen (Extremwerte in der Originalkurve).
Wenn die Anzahl der Extremstellen gerade ist, sind die Hälfte Maxima und die Hälfte Minima.
Bei ungerader Anzahl ist die Summe so beschaffen, dass von der einen Sorte einer weniger da ist als von der anderen. Man kann erst nach einer kleinen Untersuchung sagen, wie es sich genau verhält.
Die Ableitung ist ein Polynom 8. Grades und hat damit maximal 8 verschiedene, reelle Nullstellen.
Und wie wie wissen, mus bei einem Extremwert die Ableitung = 0 sein. Daher kann es maximal 8 Extremwerte geben.