[Mathe] Wie am einfachsten Extremstellen angeben?
Guten Abend,
wie kann ich hier am einfachsten bei dieser Aufgabe ohne Hilfsmittel die Hoch- und Tiefpunkte im angegebenen Intervall [-0,5; 2,5] angeben?
Hierfür benötige ich noch eine genaue Vorgehensweise, um solche Aufgaben in Zukunft einfacher lösen zu können.
Ich denke, dass die Substitution bestimmt hilfreich dabei sein könnte.
Ich würde mich über eine ganz genaue Erklärung freuen, die sehr einfach zu verstehen ist.
Anbei als Ergänzung der Frage meine bearbeitete Aufgabe 4b).
So bin ich vorgegangen:
- Funktion g(x) aufschreiben
- Periode bestimmen
- Skizze der Funktion f(x), bei der die Verschiebung in x- und y-Richtung nicht berücksichtigt werden. Denn das erleichtert die Zeichnung enorm. Also habe ich die Funktion f(x) = 2cos(pi x) als Skizze dargestellt.
- Im Kopf die auf der Skizze vorhandenen Extrempunkte um 1 LE nach rechts und um 1 LE nach oben verschieben, um die Extrempunkte der Funktion g(x) im Intervall [-0,5; 2,5] angeben zu können.
Anbei als Ergänzung meine bearbeitete Aufgabe 4b):
3 Antworten
a) Ich würde die Aufgabe so angeben:
Als erstes suche ich den 1. Hochpunkt, der beim cos immer dort liegt, wo das Argument im cos = 0 ist:
(π*(x-1)) = 0
x - 1 = 0
x = 1
Nun rechne ich die Periode aus und erhalte p = 2
Nun weiß man: der nächste Hochpunkt rechts liegt genau eine Periode weiter, also bei x = 3 und eine Periode links davon, also bei x = -1. Beides liegt außerhalb des Intervalls., fällt also flach.
Ebenfalls weiß man: der nächste Tiefpunkt liegt jeweils eine halbe Periode links und rechts vom Hochpunkt, also bei x = 2 und bei x = 0
Damit ist a gelöst:
Hochpunkt x = 1
Tiefpunkte bei x = 2 und x = 0
b) g' = -2π * sin(π * (x - 1))
g'(0,5) = -2π * sin (-0,5π) = 2π
Ansatz:
t(x) = 2π x + b
Bestimmung des Berührpunktes:
g(0,5) = 2cos(-0,5π) + 1 = 1
B(0,5/1)
Punktprobe:
t(0,5) = 1 = π + b
b = 1 - π
Damit:
t(x) = 2π x + (1 - π)
Meine obige Vorgehensweise mit Skizze findest du aber nicht schlecht, oder?
Ja ok, nicht schlecht ist ok. Begeistert bin ich aber nicht. Wäre mir zu viel Aufwand.
Dann werde ich es jetzt noch einmal so wie du rechnen, um dann beides gut zu können 🙏 Schau dir sehr gerne meine zwei neuesten Fragen an, das würde mir sehr viel helfen 🙋♂️:-)
Hoch und Tiefpunkte sind stellen eines graphen, an dem dieser den Anstieg 0 hat weil da ja sozusagen seine Buckel und täler sind. Das heißt das da die Ableitung der Funktion 0 wird.
Also
Schritt 1: 1. Ableitung berechnen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung ausrechnen (das sind deine kritischen Stellen die hoch oder Tiefpunkte sein können (oder Sattelpunkte aber das ist ein Spezialfall)
Schritt 3: 2. Ableitung ausrechnen
Schritt 4: Kritische stellen aus Schritt 2. Einsetzen und wenn jetzt deine 2. Ableitung >0 wird hast du nen Tiefpunkt, und bei <0 einen Hochpunkt
Jetzt hast du da ja einen Intervall angegeben weil manche Funktionen haben sogar unendlich viele extremalstellen. Du musst dich aber nur um die x Werte kümmern die auch innerhalb des Intervalls sind.
Die Tangentengleichung ist einfach eine Geradengleichung y=mx+n
Da nimmst du die 1. Ableitung und setzt ½ ein und erhältst schon mal deinen Anstieg m und jetzt rechnest du noch den y wert an der Stelle ½ von seiner Ausgangsfunktion aus dann kannst du y, m, x, in die geradengelichung einsetzen um n auszurechnen und dann schreibst du einfach y= mx+n mit dem jeweiligen m und n hin und das ist deine Tangente.
Es zahlt sich aus zu wissen wo f(x) = cos(x) seine Hoch- und Tiefpunkte hat. Weißt du das? Welchen Einfluß haben wohl das *pi und das (x-1) in der Cosinusklammer? Welchen das *2 und das +1 ausserhalb? Hinweis: das *2 und das +1 haben auf die x-Lage der Hoch und Tiefpunkte KEINEN Einfluß.
Hilfsmittel benötigt man für die Antwort keine.
Das verstehe ich alles. Ich möchte nur eine rechnerische Vorgehensweise haben, wie ich das z.B. mit Hilfe der Substitution einheitlich immer ermitteln kann.
Was verstehst du alles? Wenn du "alles" verstehst ist es doch lediglich Einsetzen. Was sind denn die Extemstellen des cos?
Gut. Und wie kommst du jetzt von z.B. pi(x - 1) zu pi? Hinweis: Löse doch einfach nach x auf.
Perfekt, vielen lieben Dank, dann habe ich jetzt zwei Möglichkeiten, die ich verstehe. Meine obige Vorgehensweise mit Skizze findest du aber nicht schlecht, oder?
Ich habe soeben auch meinen Aufgabenteil b) der Frage als Ergänzung beigefügt, bei der ich zum Glück auch auf das gleiche Ergebnis wie du gekommen bin.
Sehr gerne kannst du dir auch meine neueste Frage anschauen, falls du Lust hast: https://www.gutefrage.net/frage/mathe-aussagen-als-richtig-oder-falsch-begruenden