[Mathe] Aussagen als richtig oder falsch begründen?
Guten Abend,
ich benötige noch ein wenig Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Ich freue mich sehr auf eure hilfreichen Antworten (Rückmeldung zu den Aufgabenteilen a) und b) und Hilfe zum Aufgabenteil c)).
Folgendes würde ich schreiben:
- a) Die Aussage ist richtig, da das Schaubild von K‘ im Intervall [-7; 7] dreimal die x-Achse mit einem VZW von - nach + schneidet.
- b) Die Aussage ist falsch, da das Schaubild von K‘ bei x = -2 eine positive Steigung hat. Daher ist h“(-2) > 0, was bedeutet, dass das Schaubild bei x = -2 linksgekrümmt ist.
- c) Hierbei benötige ich noch ein wenig Hilfe und finde meine Antwort noch nicht so gut: Die Aussage ist falsch, da das Schaubild zuerst im Intervall [0; 1,3] (ungefähr) steigt und dann die ganze Zeit im Intervall [1.3; 4] (ungefähr) fallend ist. Somit ist h(0) > h(4).
3 Antworten
a) und b) sind okay.
Zu c) Nimm das bestimmte Integral von h'(x) in den Grenzen von 0 bis 4. Die Stammfunktion von h' ist h. Wenn h(0) = h(4), dann ist h(4)-h(0)=0 und damit muss dieses bestimmte Integral der Ableungsfunktion h'(x) auch 0 sein.
Jetzt sieht man mit bloßem Auge, dass bei h'(x) in diesem Intervall viel mehr Fläche unter der x-Achse als über der x-Achse liegt. Das bestimmte Integral ist negativ und damit nicht 0.
Deine Begründung reicht nicht. Wenn erst steigt, dann fällt, kann ja der Startwert wieder erreicht werden. Es kommt nicht nur auf die Intervalllängen an, sondern auch darauf, wie stark sie dort steigt bzw. fällt.
Letztendlich läuft das aufs Integrieren hinaus: h ist eine Stammfunktion von h', und h(0)=h(4) sagt, dass die orientierte Fläche „unter“ h zwischen 0 und 4 den Inhalt 0 hat. Das ist aber offensichtlich nicht der Fall, denn der positive Anteil (von 0 bis ca. 1,3) ist deutlich kleiner als der negative (von ca. 1,3 bis 4).
Deine Formulierung deckt sich vollständig mit meiner. A ist hier aber streng genommen keine Fläche im geometrischen Sinn, weil A auch negativ werden kann.
Eine „orientierte Fläche“ („Fläche mit Vorzeichen“, „vorzeichenbehaftete Fläche“) ist genau das, was beim Integrieren herauskommt: eine Zahl A, die alle Flächen oberhalb minus alle unterhalb der x-Achse misst.
Nur würde ich „A = h(4)−h(0) = 0“ schreiben. Dann ist offensichtlicher, dass die Originalbehauptung h(4)=h(0) widerlegt ist. Aber das sind nur Feinheiten.
a) und b) ist ok.
c) könnte man eleganter begründen.
h(x) ist das Integral von h'(x).
h(0) = Integral von 0 bis 0 = 0 + C = C
h(4) ist das Integral von 0 bis 4 + C. Das Integral von 0 bis 4 entspricht der Summe der Flächen, die der Graph von h'(x) im Intervall von 0 bis 4 einschlie0t. Da ist aber offensichtlich, dass die negative Fläche unter der x-Achse im Intervall 1,3 bis 4 vom Betrag her deutlich größer ist als die positive Fläche im Intervall 0 bis 1,3. Daraus folgt:
h(0) > h(4)
Das verstehe ich wegen dem + C leider noch nicht so ganz 🤯 Magst du mir das vielleicht erklären, woher das + C kommt? Klar, beim Aufleiten tut man ja immer + C schreiben, da ja beim Ableiten etwas wegfällt. Aber hier steht in der Aufgabe ja schon h(0) und nicht h(0+C) 🤯🤔
Folgendes würde ich schreiben (ohne das C, das hatte mich stark verwirrt, siehe mein anderer Kommentar. Gib mir sehr gerne darüber eine Rückmeldung, ob meine Antwort hier gut ist oder ob das C genannt werden muss):
Bei der Aussage h(0) = h(4) handelt es sich um die orientierten Flächeninhalte h(0) und h(4), welche laut der Aussage gleich groß sind. Bei h(0) handelt es sich um das Integral beim Schaubild von K‘ von 0 bis 0. Daher ist h(0) = 0. Bei h(4) handelt es sich um das Integral beim Schaubild von K‘ von 0 bis 4. Da die eingeschlossene Fläche unterhalb der x-Achse größer als die eingeschlossene Fläche oberhalb der x-Achse ist, ist h(4) < 0. Somit gilt: h(0) > h(4). Daher ist die Aussage falsch.
Ja, das ist gut, das gibt 100 von 100 Punkten. Ich denke entscheidend bei dieser Frage ist die Tatsache, dass man den Zusammenhang zwischen f(x) sowie den Flächen erkennt, die f'(x) einschließt.
Ich verstehe, dass h die Stammfunktion von h‘ ist. Aber ich verstehe leider noch nicht genau, was in dem Sinne h(0) = h(4) bedeutet. Leider überhaupt noch nicht. Ich verstehe auch noch nicht, was die orientierte Fläche ist, den Begriff habe ich leider noch nie gehört.
Folgendes würde ich verstehen (anderes ausgedachtes Beispiel):
Aussage: A = [h(x)] von 0 bis 4 = 0
Meine Antwort: Die Aussage ist falsch, da bei h‘ im Intervall [0; 4] die Fläche unterhalb der x-Achse größer ist als die Fläche überhalb der x-Achse. Somit ist A < 0 und die Aussage falsch.
Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen :-)