Lokaler Hochpunkt/Tiefpunkt berechnen?
Auf dem Bild ist meine Hausaufgabe und ich versuche die Lokalen Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion zu berechnen. Ich habe sie im Taschenrechner eingegeben und gesehen dass es einen Hochpunkt und 2 Tiefpunkte gibt. Die Funktion verläuft praktisch wie ein W. Rechnerisch komme ich aber leider nur auf eine Extremstelle. Kann mir jemand helfen?
6 Antworten
Also:
Nullstelle:
f´(x) = 0 f´´(x) </> 0
f´(x) = 4x³ - 6x = 0 => (4x²-6)x = 0
Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, weswegen entweder x = 0 oder 4x² - 6 = 0
4x² - 6 = 0 <=> 4x² = 6 <=> x² = 1.5 => x1 = -Wurzel(1.5) und x_3 = Wurzel(1.5)
Hochpunkt: f´´(x) < 0
Sattelpunkt: f´´(x) = 0
Tiefpunkt: f´´(x) > 0
Jetzt nur noch die x-Werte einsetzen und schauen ob f´´(x_1), f´´(x_2) und f´´(x_3) größer oder kleiner 0 sind.
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
Der Fehler ist, dass du den Wert der 1. Ableitung bei 0 ausrechnest.
Der Wert der Ableitung muss aber 0 sein, also
4x³ - 6x = 0
Eine Stelle ist x = 0,
dann bleibt 4x² - 6 = 0
und die beiden anderen Stellen sind
+/- √(3/2), also 1.225
Extrempunkt bedeutet f'(x) = 0, nicht x = 0. Du hast x = 0 gesetzt und f'(0) berechnet - das ist zwar der Funktionswert an der Stelle x = 0 (in der Ableitung, also die Steigung der Ausgangsfunktion) aber nicht die Art zur Berechnung der Extremstellen.
f'(x) = 4x³ - 6x
4x³ - 6x = 0
x(4x² - 6) = 0
→ x = 0 oder 4x² - 6 = 0 ⇔ x = ±√(3/2)
Also gibt es drei Extremstellen. Ob Hochpunkt oder Tiefpunkt kannst Du dann mit der zweiten Ableitung herausfinden (<0 oder >0).
LG Willibergi
Bei f'(x)=4x³-6x=0 musst Du x ausklammern und erhältst: x(4x²-6)=0
Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird, also:
x=0 oder 4x²-6=0.
Die zweite Gleichung nach x auflösen, und Du hast alle drei Extremstellen.
Nachtrag:
Erkenne gerade erst, was Du gemacht hast: Mit f'(0) rechnest Du einfach nur die Steigung an der Stelle x=0 aus; das ist hier zufällig gleich Null, also eine (mögliche) Extremstelle.
Du musst aber f'(x)=0 setzen, um an die Nullstellen zu kommen!
Du musst nicht für x, sondern für f(x) 0 einsetzen, also:
0 = 4x^3 - 6x
0 = x(4x^2-6) -> x1 = 0
0 = 4x^2 - 6 | +6, :4
1,5 = x^2
x2=√1,5 x3 = -√1,5