Extremstellen bestimmen im Intervall?
Wie findet man zu einer Funktion auf einem bestimmten Intervall rechnerisch lokale und globale extremstellen? Ich weiß, wie man die extremstellen generell ausrechnen kann, aber wie mache ich das in einem bestimmten Intervall? Es wäre extrem nett, wenn jemand das vllt an einem Beispiel erklären kann?
danke auf jeden Fall schon mal für jede Hilfe!!!
3 Antworten
Du gehst im Grunde genauso vor, nur dass du bei der Suche der Nullstellen der ersten Ableitung nur die betrachtest, die im Intervall sind.
Zusätzlich sind die Randpunkte (fast) immer auch Extremstellen, auch wenn die erste Ableitung nicht 0 ist. (Also wenn du ein abgeschlosses Intervall betrachtest)
Wenn die Funktion auf einem offenen intervall betrachtet werden soll, kann es auch sein, dass es kein globales Extrema gibt, weil dieses sich eigentlich am Rand befindet (aber eben nicht im Definitionsbereich ist)
Zusätzlich müssen die Randwerte betrachtet werden, da diese extrem sein können, ohne dass dort die Steigung 0 ist.
Hi Marlene,
welche Klasse und habt Ihr schon Ableitungen gelernt?
LG,
Heni
Also liebe Marlene,
dann nehmen wir als Beispiel die ganzrationale Funktion 3. Grades (das heißt die höchste Potenz von x ist 3):
f(x) = x³ - 12x + 11
Eine Extremstelle (minimum oder Maximum auch Hochpunkt oder Tiefpunkt genannt) kann es dort geben, wo f'(x) = 0 ist.
ich schreibe kann es geben weil es nicht unbedingt immer der Fall ist.
Das ist also eine notwendige Bedingung, aber die muss als erstes geprüft werden:
also machen wir die Ableitung dieser Funktion:
f(x) = x³ - 12x + 11
f'(x) = 3x² - 12
also Bedingung f'(x) = 0 => 3x² - 12 = 0
3x² - 12 = 0 | : 3
x² - 4 = 0 | +4
x² = 4 | √
x1 = 2
x2 = -2
Bei den Werten x = 2 und x = -2 haben wir also eine mögliche Extremstelle!
Und jetzt folgt die hinreichende Bedingung:
für x = 2 bzw x = -2 muss die zweite Ableitung ungleich 0 sein:
machen wir also die zweite Ableitung, also die Ableitung von der ersten Ableitung:
f''' (x) = 6x
dann prüfen wir:
f'' (-2) = 6 * (-2) = -12, also f''(-2) ≠ 0. jetzt gilt die Regel, wenn f''(x)< 0 ist haben wir einen Hochpunkt und umgekehrt wenn f'' (x) > 0 ist dann haben wir eine Tiefpunkt.
Da hier f''(-2) =-12 haben wir also einen Hochpunkt.
der ist HP (-2 | f(-2)),
f(-2) = (-2)³ -12 * (-2) + 11 = -8 + 24 + 11 = 27
Hochpunkt ist also: HP (-2 < 27)
Dasselbe Vorgehen für x = 2
f''(2) = 6 * 2 = 12 ≠ 0 folgt hier haben wir einen Tiefpunkt da f''(2) >0 ist.
Der Tiefpunkt TP (2 | f(2)) lautet:
f(2) = 2³ -12 * 2 + 11 = 8 - 24 + 11 = -5
also haben wir hier TP (2 | -5)
Das war es mal "kurz" erklärt.
Fragen?
LG,
Heni
f((2) =
Wow, vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort! Die hat mir sehr viel geholfen alles zu verstehen :))
Ich bin in der 11. Klasse in Hessen. Ja, wir hatten schon Ableitungen/ sind gerade noch dabei:)