Hochpunkt/Tiefpunkt Berechnung- Was ist wenn das Ergebnis Null ist?
Wenn man von der ersten Ableitung die x-Werte hat (Extremstellen) dann setzt man sie ja in die zweite Ableitung ein um zu kontrollieren ob es ein Hoch-/Tiefpunkt ist. Bei einem Ergebnis über 0 ist es ein TP bei einem unter 0 ist das Ergebnis ein HP.
Doch was wenn das Ergebnis 0 ist?
4 Antworten
Dann gibt es zunächst mal keine eindeutige Aussage. Es kann sich trotzdem um eine Extremstelle handeln (Beispiel: f(x) = x^4) oder um einen Sattelpunkt (Beispiel: f(x) = x^5; Verdachtspunkt jeweils bei x = 0). Man kann dann statt dessen die Umgebung des vermuteten Extremwertes betrachten und dort das Verhalten von f analysieren.
Hallo,
dann kann es ein Sattelpunkt sein - es kann aber auch davon abhängen, die wievielte Ableitung als erste von Null verschieden ist.
Beispiel: f(x)=x^4 hat einen Tiefpunkt bei x=0.
Aber f'(0)=4*0^3=0.
f''(0)=12*0^2=0
f'''(0)=24*0=0
f''''(0)=24>0.
Da der Grad der Ableitung, die zum ersten Mal an dieser Stelle ungleich Null ist, ein gerader ist (nämlich 4.), handelt es sich um einen Tiefpunkt, denn 24 ist größer als Null.
Bei f(x)=x^5 ist die erste von Null verschiedene Ableitung an der Stelle x=0 von ungeradem Grad (nämlich 5.). In diesem Fall handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Herzliche Grüße,
Willy
Zwei Möglichkeiten:
Man sucht nach einer weiteren geraden Ableitung, z.B. die vierte, die sechste, die achte und erhofft sich daraus ein Ergebnis, z.B. bei x hoch 4 hilft die vierte Ableitung mit
Hilft auch das nicht, weil z.B. permanent 0 rauskommt (eventuell bei
), kann man es mit der Untersuchung der Umgebung versuchen (einen Wert vor der Nullstelle, einen dahinter), allerdings muss dafür die Umgebung hinreichend klein gewählt werden. Natürlich darf sich in der Umgebung keine weitere Nullstelle aufhalten.
Dann handelt es sich vielleicht um einen Wendepunkt.
Es müssen dann höhere Ableitung für die Bestimmung herangezogen werden.
Wenn Wendepunkt, dann einer mit Steigung Null, also ein Sattelpunkt, da die erste Ableitung auch Null ist.