Wieso die zweite Ableitung für Hoch und Tiefpunkte?
Man nimmt an es gibt nur zwei Extrempunkte. Ein Hochpunkt und einen Tiefpunkt, da die gleichen Extrempunkte nicht neben einander sein können, ohne einen weiteren Extrempunkt zu erstellen.
Der Hochpunkt kann aber nicht unter dem Tiefpunkt liegen (Y-Achse). Wieso dann die zweite Ableitung? Man könnte es doch an den Y-Werten ablesen. Der Hochpunkt hat den hören Y-Wert.
Kann sein das ich natürlich etwas übersehe, aber die Frage frustriert mich mittlerweile.
Im Voraus schonmal danke für die Antworten!
Gemeint sind dabei Ganzrationale Funktionen
1 Antwort
Man nimmt an es gibt nur zwei Extrempunkte.
Das müsste schonmal begründet werden. Dann könnte man bei einer ganzrationalen Funktion so argumentieren. Da ist den meisten Schülern schon angenehmer, es geht "nach Schema F".
Wie soll das "sich ergeben", wenn nur f'(x) = 0 geprüft wird?Das sit eben nur notwendig, nicht hinreichend.
Erste Ableitung hat 2 Nullstellen, somit hat die Funktion 2 Extrempunkte. X-Werte der Nullstelle in die Funktion und am Y-Wert ablesen was Hoch und was Tiefpunkt ist.
Erste Ableitung hat 2 Nullstellen, somit hat die Funktion 2 Extrempunkte.
Aus der Nullstelle der Ableitung kann man eben nicht zwingend auf die Existenz von 2 Extrema schließen.
Beispiel
f(x) = 3x^4-16x^3
Die Ableitung hat 2 Nullstellen, es gibt aber nur einen Extrempunkt.
Also nutzt man die zweite Ableitung meist um zu gucken ob und wie viele Extrempunkte existieren. Wenn f´´(x)=O dann liegt kein Hoch oder Tiefpunkt vor (Für die jeweilige X Koordinate). Wenn das richtig ist, habe ich es verstanden. Vielen Dank!
Wenn f´´(x)=O dann liegt kein Hoch oder Tiefpunkt vor
Nicht zwingend (Bsp. f(x) = x^4)
Ich empfehle daher auch statt der Untersuchung von f'' das Vorzeichenwechselkriterieum: Man untersucht, ob f' in der Nähe der dortigen Nullstelle das Vorzeichen wechsel. Daran kann man dann auch sehen, welche Art von Extremum vorliegt, falls es denn eines ist.
Durch Ableitung 1 ergibt sich es gibt nur 2 Extrempunkte, ist damit gemeint.