Sattelpunkt: Vorzeichenwechsel
Moin,
Ich habe ein Problem. Es geht um die Bestimmung von Extremwerten usw.
So nun haben wir gelernt, dass man die erste ableitung macht und diese gleich null setzt, (bedingung f`=0 ) und dann darf die zweite ableitung nicht null sein (bedingung f ``ungleich 0).
So, dann haben wir noch gelernt, dass man erkennen kann ob es sich dabei um einen hochpunkt, einen tiefpunkt oder einen sattelpunkt handelt: Wenn der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ ist, ist es ein hochpunkt, wenn er von negativ zu positiv ist, ist es ein tiefpunkt und wenn kein vorzeichenwechsel stattfindet, ist es ein sattelpunkt.
Meine Frage ist nun, was ich denn vergleiche, um zu erkennen ob ich einen vorzeichenwechsel habe oder nicht und von wo nach wo er geht. Also ein Wechsel zwischen welchen Zahlen???
Ich hoffe meine frage ist klar geworden... :-S
Riesendankeschön schonmal (denn nichtmal meine mathelehrerin konnte mir das erklären)!
3 Antworten
na ja, du hattest von Vorzeichenwechsel geredet, daher meine Erklärung;
schöner und leichter: Tiefpunkt f ' = 0 und f " >0
Hochpunkt f ' = 0 und f " <0
Wendepunkt f " = 0 und f '" ungleich0
Sattelpunkt f " =0 und f "' ungleich 0 und f ' =0
Direkt über den Vorzeichenwechsel kann ich es dir nicht erklären, da ich es so nicht kenne.
(Bei Tief und Hochpunkten verändert sich der Anstieg also f ' linksseitig vom Extrempunkt entgegen dem rechtsseitigem Wert.) Vlt ist also damit der Wert der 1. Ableitung links vom Extremalpunkt entgegen einem Punkt rechts vom Extremalwert gemeint.
Aber für die Feststellung von Hoch und Tiefpunkten gibt es eine "einfache" Methode.
Wenn f '=0 ist (handelt es sich um einen Extremalpunkt). und du dann die 2. Ableitung bildest dann überprüfst du.
f ' ' >0 dann ist es ein Minimum (Tiefpunkt) f ' ' <0 dann ist es ein Maximum(Hochpunkt)
zuerst setzt du ja f ' =0 und löst das nach x auf; dann nimmst du einen beliebigen Wert links und einen rechts davon und setzt diese Zahlen in f ' ein und guckst, ob Vorzeichenwechsel vorliegt.
hmmm... unsere lehrerin hat uns erklärt, dass man das mithilfe der 2. ableitung herausfindet, aber dankeschön schonmal.
also gibt es noch eine variante um genau das mit der 2. ableitung rauszubekommen?
Und: Kann man ein minimum oder maxmum nicht alternativ auch so bestimen: f ' ' >0 dann ist es ein Minimum (Tiefpunkt) f ' ' <0 dann ist es ein Maximum(Hochpunkt)
Dankeschön schonmal!
und beim wendepunkt darf die erste ableitung auch nicht null sein, oder? (weil wenn doch, dann hätten wendepunkt und sattelpunkt die gleichen bedingungen)