Was bedeutet Sattelpunkt?
Zur Differenzialrechnung gehört unter anderem die Kurvendiskussion. Bei einer Kurvendiskussion werden ja unter anderem Extrema und Wendepunkte sowie Nullstellen berechnet.
Ich weiß, dass man beim Extremwert die Nullstellen der 1. Ableitung berechnet. Den x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzt um den y-Wert zu ermitteln --> Notwendige Bedingung
Bei einem Vorzeichenwechsel von f´(x) bei x von + nach - liegt ein Hochpunkt vor und beim Vorzeichenwechsel von f´(x) bei x von - nach + liegt ein Tiefpunkt vor --> Hinreichende Bedingung
Zum Wendepunkt: Das habe ich soweit verstanden, dass man die Nullstellen der 2. Ableitung berechnet und diesen x-Wert wieder in die Ausgangsfunktion einsetzt --> Notwendige Bedingung
Die Hinreichende Bedingung für den Wendepunkt wäre die dritte Ableitung ist ungleich Null.
Hab ich das soweit richtig verstanden ?
Meine Frage bezieht sich auf den Sattelpunkt: Ist ein Sattelpunkt dasselbe wie der Wendepunkt ?
Bin Schülerin einer 7. Klasse und habe mir dieses Thema selber erarbeitet. Es ist also keine Hausaufgabe.
6 Antworten
Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. An der Stelle eines Sattelpunktes ist nicht nur f '' (x) = 0,sondern auch f ' (x) = 0.
Guck dir das doch einfach mal bei y = x³ an. Da ist im Ursprung (0 | 0) ein Sattelpunkt.
nein. f'(x)=0 bedeutet ja nur dass eine waagrechte tangente vorliegt (notwendig für extremum), aber noch nicht dass ein extremum vorliegt.
beispiele:
f(x) = x^2 hat an der stelle x=0 eine waagrechte tangente UND ein minimum.
f(x) = - x^2 hat an der stelle x=0 eine waagrechte tangente UND ein maximum.
f(x) =
{ x^2 für x>0
{ -x^2 für x<=0
hat an der stelle x=0 eine waagrechte tangente UND einen sattelpunkt.
(dabei soll f(x) über eine fallunterscheidung mitteles geschweifter klammer definiert sein, was hier schlecht schreibbar ist... ich hoffe du verstehst was ich mein)
Hab ich das soweit richtig verstanden ?
Stimmt alles soweit. Wobei beim Extremwert noch zu ergänzen wäre:
Als hinreichende Bedingung gilt auch: f´´(x) ungleich 0
f´´(x) < 0 --> Hochpunkt
f´´(x) > 0 --> Tiefpunkt
Ist ein Sattelpunkt dasselbe wie der Wendepunkt ?
Bei einem Sattelpunkt liegt ein Wendepunkt, also f´´(x) = 0 und am selben Punkt auch f´(x) = 0 vor.
Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall der Wendepunkte.
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/sattelpunkt-berechnen.html
(Zitat:) "Ist ein Sattelpunkt dasselbe wie der Wendepunkt ?" Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall eines Wendepunktes.
Ich fachte, du magst Mathe nicht?
Na ja, seis drum. nehmen wir an, du hast den x-Wert der ersten Ableitung berechnet. Setzt du diesen Wert nun in f"(x) ein und erhältst 0, dann liegt ein Sattelpunkt vor. Das ist quasi ein Wendepunkt und Extremum gleichzeitig. An diesem Punkt hast du eine waagerechte Tangente.
Lg ShD
Das Witzige bei einem Sattelpunkt ist, dass er gewissemaßen "zwei halbe Extremwerte" ist. Guckt man von der einen Seite, ist er ein Maximum; von der anderen Seite ist er ein Minimum.
Sieht man sich den Verlauf der Kurve an, dann sind an der Stelle Maximum, Minimum und Wendepunkt zusammengefallen. Sonst sind das ja drei Punkte; deshalb spricht man bei einem solchen Zusammentreffen auch von einer dreipunktigen Berührung.
Also liegt im Sattelpunkt ein Extremwert und ein Wendepunkt vor ?