Extrempunkt/Wendepunkt Bedingung - Was wenn hinr. Bedingung gleich 0 ist?

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Es ist ein verbreiteter Irrtum, dass die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt f''(x) <> 0 ist. Wäre das nämlich schon hinreichend, bräuchte man f'(x) = 0 gar nicht prüfen.

Die hinreichende Bedigung lautet f'(x) = 0 und f''(x) <> 0.

Nur beides zusammen ist hinreichend. Jede notwendige Bedingung muss Teil der hinreichenden Bedingung sein, denn sonst wären sie ja nicht notwendig.

Wenn f'(x) = und und f''(x) = 0, dann muss man die nächste Ableitung überprüfen.

Beispiel 1

   f(x) = x³
  f'(x) = 3x²
 f''(x) = 6x
f'''(x) = 6

 f'(0) = 0 (offensichtlich)
f''(0) = 0 
-> f'''(0) = 6 > 0 => Sattelpunkt / Wendepunkt

Beispiel 2

    f(x) = x^4
   f'(x) = 4x³
  f''(x) = 12x²
 f'''(x) = 24x
f''''(x) = 24

f'(0) = 0 (offensichtlich)
f''(0) = f'''(0) = 0
f''''(0) = 24 > 0 => Tiefpunkt

Wie es aussieht, haben wir einen Wendepunkt vorliegen, wenn die nte Ableitung die erste Ableitung ist, die ungleich 0 ist, wobei n ungerade ist und einen Extrempunkt vorliegen, wenn die erste von 0 verschiedene Ableitung die nte ist, wobei n gerade ist.

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Danke soweit alles gut verstanden ^^ Nur die letzten drei Zeilen verstehe ich nicht , könntest du es bitte genauer erläutern ?^^

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@JentonM
f'(x) = 0
   0 = 4x³   | :4
   0 = x³    | 3te Wurzel
   x = 0

Genauso ergibt sich für die anderen Ableitungen bis zur 4. eine 0 an der Stelle 0.

Die vierte Ableitung hat an der Stelle 0 den Funktionswert 24. Da es die vierte Ableitung ist und 4 gerade ist, handelt es sich um einen Extrempunkt, in diesem speziellen Fall um einen Tiefpunkt.

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Ich bevorzuge das Vorzeichenwechselkriterium: Ist f ' (x) = 0 und f ''(x) = 0 sieht man nach, ob f ' bei x das Vorzeichen wechselt. Man kann auch logisch schließen, ob (wenn Extremum) es sich um Minimum oder Maximum handelt...

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Ist klar, dass du als Wechselfreund das Vorzeichenwechselkriterium bevorzugst. ;P

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