Warum sind Wendepunkte bei Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht exakt ermittelbar?
Folgende Webseite habe ich gefunden -->
http://www.bankstudent.de/downloads/analysis2.htm
Ich habe ziemlich gut verstanden wie man Extremwerte und Sattelpunkte von Funktionen mehrerer Veränderlicher ausrechnet.
Damit sind zum Beispiel Funktionen der Form z = f(x, y) gemeint.
Was ich jedoch nicht verstehe, ist, folgender Satz von der oben genannten Webseite -->
Sollte die notwendige, nicht jedoch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, so handelt es sich nicht um ein Extrema, sondern um einen Sattelpunkt. Wendepunkte sind bei solchen Funktionen nicht exakt ermittelbar, jedoch stellt jeder Sattelpunkt auch einen Wendepunkt dar.
Meine Frage lautet nun, warum sind Wendepunkte bei Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht exakt ermittelbar ?
Was soll dass eigentlich heißen, "nicht exakt ermittelbar" ? Das es keine gibt, nur wenn Sattelpunkte vorhanden sind, oder dass sie mehrdeutig sind, oder dass es schwer ist sie zu ermitteln ?
2 Antworten
Steht eigentlich da: Jeder Sattelpunkt auf dem Sattel (Parallele zu x-Achse) ist ein Wendepunkt, also unendlich viele entsprechen den x-Werten des Sattels!
Dein Zitat ist völliger Unsinn und stammt wahrscheinlich von einem Prof. Auch ich habe schließlich drei Silvester Mensa studiert und ärgere mich noch heute über den Unsinn, den die da vorne verzapft haben. Denn im Internet findest du frei schaffende Künstler, die sehr wohl den Unterschied kennen zwischen einem Sattelpunkt ( SP ) und einem ===> Terrassenpunkt ( TRP )
Um hier so etwas wie geistige Klarheit zu schaffen, gehe ich erst mal aus von einer gewöhnlichen eindimensionalen Funktion y = f ( x )
Es gibt nur hinreichende Bedingungen; keine notwendigen.
Eine n-fache Nullstelle, n gerade, ist immer ein ( lokales ) Extremum. Dabei bestimmt das Vorzeichen der ersten nicht verschwindenden Ableitung in üblicher Weise, ob Maximum oder Minimum.
Schüler sind nämlich immer so verwirrt, weil sie nicht erkennen, dass z.B. das Minimum von f ( x ) = x ^ 4 712 bei x = 0 ein SONDERFALL obiger Regel ist.
Da die Regel nur hinreichend ist; Gegenbeispiele, wo sie gar nicht anwendbar ist. Sie findet keine Anwendung auf das Minimum der Betragsfunktion, weil diese Funktion in ihrer Nullstelle gar nicht differenzierbar ist. ( Die " Ordnung " der Nullstelle der Betragsfunktion ist gar nicht definiert. )
Die ersten 4 711 Ableitungen einer Funktion könnten sämtlich verschwinden; aber die 4 712. existiert nicht. Pech gehabt; keine Aussage.
Oder es gibt Ableitungen beliebig hoher Ordnung; aber sie sind sämtlich Null ...
Jetzt muss ich aber noch den ungeraden Fall abhandeln; eine n-fache Nullstelle, n > 1 ungerade, ist immer ein TRP .
Ein WP ist definiert als Extremwert der ersten Ableitung; als Erstes müsstest du dich mal schlau machen, wie Krümmung bzw. Krümmungsradius einer Kurve definiert ist. Hier versucht man den Grafen nicht durch seine Tangente, sondern durch einen Kreis anzunähern. Die 2. Ableitung geht immer linear in die Krümmung ein; die Krümmung ist ein ===> Skalar. Sie ändert sich nicht, wenn du das Zeichenblatt " drehst "
Ein Punkt, in dem die 2. Ableitung und damit die Krümmung verschwindet, mithin der Krümmungskreis zur Tangente entartet, heißt ===> Flachpunkt. Von Daher muss jeder WP auch ein Flachpunkt sein. Nach allem, was wir gesagt haben, ist hinreichend für WP: Die erste nicht verschwindende Ableitung ist ungerade ( mindestens 3 )
Und jetzt zu einer Funktion f ( x1 ; x2 ; x3 ... )
Hier arbeiten wir mit der Bedingung: NOTWENDIG für Extremum bzw. SP ist das Verschwinden des Gradienten. Sonderfall f = f ( x ) : Der Gradient entspricht der ersten Ableitung f ' ( x )
Halt stopp; wie ist SP überhaupt definiert? Ein Sattel ist immer eine (Hyper)fläche, die in einer Richtung ein Maximum und in einer anderen ein Minimum hat.
Typisch wirst du deinen Vektorrsum V zerlegen in zwei ===> ortokomplementäre Unterräume U1 + U2 . Dann besitzt f ( x1 ; x2 ; x3 ... ) an der Stelle P0 in U1 ein Maximum und in U2 ein Minimum.
Aus dem Gesagten geht nun ganz klar hervor, dass ein TRP kein SP ist; viel mehr handelt es sich bei einem SP immer um ein VERALLGEMEINERTES EXTREMUM . Ferner ist ein Sattel mindestens zweidimensional; eine Kurve y = f ( x ) kann doch gar keinen Sattel haben.
Hinreichende Diskriminante ist nun die ===> Hessematrix H. Im eindimensionalen Fall entartet H zu y "
Hinreichend für Minimum / Maximum: H ist positiv / negativ definit; entsprechend y " > 0 bzw. y " < 0 .
Hinreichend für SP: H ist indefinit.
Und hier nun siehst du es ganz klar. Eine Zahl wie f " ( x ) KANN überhaupt nicht INDEFINIT SEIN; die hinreichende Bedingung für SP wird nie erreicht.
Ach übrigens; bei Mathelounge habe ich häufig mehr gelöst als gefordert. Was machst du, wenn du bei dem mehrdimensionalen Fall mit der hinreichenden Bedingung nicht hinkommst, weil die Hessematrix H ===> singulär wird; ihre ===> Determinante verschwindet?
Mein Vorschlag zur Güte: Ziehe von dem kritischen Punkt P0 aus lauter radiale Strtahlen
x1 ( t ) = x1 ( P0 ) + ß1 t ( 1a )
x2 ( t ) = x2 ( P0 ) + ß2 t ( 1b )
x3 ( t ) = x3 ( P0 ) + ß3 t ( 1c )
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Dann wird die gewöhnliche Extremwertrechnung nach einer Veränderlichen wieder anwendbar; und - oh Wunder - in dem Schema ( 1a-c ) stellen sich SP heraus als Nullstellen von GERADER Ordnung in t . Der Unterschied gegen Extremum ist schlicht und ergreifend der, dass das Vorzeichen der ersten nicht verschwindenden Ableitung RICHTUNGSABHÄNGIG ausfällt.
Und TRP wie erwartet ungerade Ordnung.
Hey what shalls? Das Schema ( 1a-c ) ist immerhin meine Erfindung; es würde sehr wohl ermöglichen, den Begriff des WP auch auf mehrdimensionale Funktionen zu verallgemeinern. Was muss gelten, wenn die Projektion des Gradienten auf jede Richtung extremal wird? Keine Ahnung; Differenzialgeometrie im Allgemeinen und ===> ART im Besonderen hab ich durchlitten wie andere ihr Latein ...
Originalzitat mein Daddy ; Spitzname " Leo "
" Das Rindvieh war immer ich. Kein Mensch hat von mir verlangt, dass ich sowas mache ... "
Sieht fast danach aus, als wenn hier noch jede Menge Dissertationen lauert ...