Kurvendiskussion, wie viele Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte kann die Funktion maximal haben?
f(x)= 1/4x^4-5x^2+16
Was ist die Definitionsmenge?
Wie viele Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte kann die Funktion maximal haben? Wie lese ich das?
3 Antworten
Die Funktion f(x) = 1/4 * x⁴ - 5x² + 16 ist eine sog. biquadratische Gleichung und hat genau vier Nullstellen, drei Extrempunkte und zwei Wendepunkte. Nicht mehr und nicht weniger. Da gibt es keine maximale Anzahl, das ist Fakt.
Worauf du vielleicht hinaus willst, ist folgendes:
Wie viele Nullstellen/Extrempunkte/Wendepunkte hat eine Funktion der Form
g(x) = ax⁴ + bx² + c
maximal?
Da kann man schon mehr sagen:
Eine Funktion n. Grades hat immer
- maximal n Nullstellen
- maximal n-1 Extrempunkte
- maximal n-2 Wendepunkte
Aus ersterem kannst du dir die beiden letzteren Beziehungen herleiten. Denn die Extrempunkte der Ausgangsfunktion sind ja die Nullstellen der Ableitung. Und da die Ableitung immer einen Grad kleiner als die Ausgangsfunktion ist, hat sie auch mindestens eine Nullstelle weniger. Genauso mit den Wendepunkten, die den Nullstellen der zweiten Ableitung entsprechen.
Somit hat g maximal 4 Nullstellen, 3 Extrem- und 2 Wendepunkte.
Mit f hast du sogar schon eine Funktion gefunden, die maximal viele Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte hat.
Die Definitionsmenge ist bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen) immer ganz ℝ.
LG Willibergi
Die Funktion kann maximal 4 Nullstellen, 3 Extremwerte und 2 Wendepunkte haben, denn es ist ein Polynom 4. Grades.
Ein Polynom n-ten Grades kann n Nullstellen haben.
Ein Polynom hat einen Extremwert, wenn die Ableitung eine Nullstelle hat. Die Ableitung verringt den Grad um 1. Deshalb bleiben noch drei mögliche Nullstellen.
Ein Wendepunkt liegt dann vor, wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle hat (und höhere Ableitungen 0 sind), welche ein Polynom 2. Grades ist. Deshalb 2 Nullstellen.
Die Definitionsmenge sind hier alle reellen Zahlen.
y= (0,25x^4) (-5x²) + (x*16)
so würde ich es lesen. ;) Allerdings ist es bei mir Jahre her...