Wurzelfunktion Kurvendiskussion?
eine Wurzelfunktion (√x ) befindet sich nur im ersten Quadranten eines Koordinatensystems solange sie nicht durch ihre Parameter verschoben wird, und besitzt keinen Hoch/Tiefpunkt sowie keinen Wendepunkt. hat man nun aber eine Wurzelfunktion mit ungeraden Wurzelexponenten (∛x ) ist die Funktion punktsymmetrisch und hat auch Werte im negativen Bereich. damit besitzt sie auch ein Wendepunkt, dieser lässt sich aber nicht berechnen (siehe Abbildung)
jetzt zur Frage: wie mache ich das dann in der Kurvendiskussion wenn es um eine Wurzelfunktion mit ungeraden Wurzelexponenten geht?
solange keine hilfreichste Antwort vergeben wurde, würde ich es begrüßen wenn ihr die "Frage erneut stellt". ich kann die frage ja nur einmal erneut stellen
2 Antworten
Doch, der Wendepunkt lässt sich berechnen. [Rechnung gegen Ende meiner Antwort.]
Allerdings ist dort nicht f′′(x) = 0. Denn f′′(x) existiert an der Stelle x = 0 gar nicht.
Du denkst da vermutlich an die notwendige Bedingung f′′(x) = 0. Diese notwendige Bedingung gilt jedoch nur unter der Voraussetzung, dass die Funktion mindestens zweimal differenzierbar ist, ist daher im konkreten Fall nicht anwendbar. Wendepunkte sind aber etwas allgemeiner definiert als mit f′′(x) = 0 als notweniger Bedingung.
https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Definition
Bedenke also inbesondere:
Wenn eine stetige reelle Funktion f an einer Stelle x₀ von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung wechselt oder umgekehrt von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung wechselt (und an der Stelle x₀ definiert ist), so befindet sich an der Stelle x₀ ein Wendepunkt von f.
D.h. man kann auch mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung als Kriterium arbeiten.
Im konkreten Fall:
[Bemerkung: f ist stetig.]
Für alle x ∈ ℝ∖{0} gilt:
[Bemerkung: f′(0) existiert nicht.]
Für alle x ∈ ℝ∖{0} gilt:
[Bemerkung: f′′(0) existiert nicht.]
- Für alle x ∈ ℝ mit x < 0 ist f′′(x) > 0. Dementsprechend ist f für x < 0 linksgekrümmt.
- Für alle x ∈ ℝ mit x > 0 ist f′′(x) < 0. Dementsprechend ist f für x > 0 rechtsgekrümmt.
- f(0) = 0 [Insbesondere existiert der Funktionswert f(0).]
Aufgrund des wechselnden Krümmungsverhaltens ist bei x = 0 ein Wendepunkt von f mit den Koordinaten (0 | f(0)) = (0 | 0).
wenn ich das also richtig verstehe, leitest du die Funktion zweimal ab um sie auf ein Wechsel der Vorzeichen zu überprüfen: einmal normal ungeformt und einmal mit zwei negativen Vorzeichen umgeformt... habe ich das richtig verstanden?
das "x < 0" erkenne ich jeweils am negativen Vorzeichen in der Ableitung?
ich habe das ganze auch mal mit meinen CAS Taschenrechner durchprobiert und es hat soweit funktioniert, allerdings bekomme ich auch ein Ergebnis für gerade Wurzelexponenten
soweit habe ich dann die Rechnung verstanden, wenn meine obigen Aussagen stimmen aber lässt sich das auch noch so anwenden, wenn meine Funktion um 1 auf der y-Achse nach oben verschoben wird?
Die Wurzelfunktion besitzt einfach an dieser Stelle eine waagrechte Tangente und ist daher dort nicht differenzierbar.
Die Antwort von mihisu hört sich doch recht gut an oder?
die ist gut, wenn ich das alles so richtig verstanden habe
ich habe darauf nochmal kommentiert wegen ein paar nachfragen und weil ich überprüfen will ob ich es verstanden habe
bedeutet also Wurzelfunktionen können einfach weine Wendepunkte haben? kann ich denn die Koordinaten der waagerechte Tangente berechnen? (wäre für die Kurvendiskussion gut)