Polynomfunktion aufsuchen?
Hallo, könntet ihr mir bitte helfen:
Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 4 besitzt den Tiefpunkt T(2|0) und den Wendepunkt W(0|0). Die Wendetangente bildet mit der 1.positiven Achse einen Winkel von 45°. Ermittle die Termdarstellung von f!
Ich habe die ersten 2 Ableitungen gebildet:
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d, f''(x)=12ax^2+6bx+2c
Dann habe ich versucht, die Bedingungen aufzustellen:
T(2|0)->f(2)=0 und 2 lokale Minimumstelle, daher f'(2)=0 (TIEFPUNKT)
W(0|0)->f''(0)=0 und weiter weiß ich leider nicht...
Ist die Wendetangente nicht die 1.Mediane im 1.Quadranten (45°-Winkel etc...) mit der Steigung 1 und würde dann somit nicht: f'(0)=1 gelten?
ich wäre für jede Hilfe dankbar!!!
Lt. Lösungsheft wäre die Lösung: f(x)=1/4x^4 - 3/4x^3 + x.
Vielen Dank im Voraus!
1 Antwort
Ableitungen:
f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c
---------------------------------------------
Steckbriefangaben:
P_E (2│0) Tiefpunkt
P_W (0│0) Wendepunkt
Wendetangente 45°, also Steigung im Wendepunkt = 1
-----------------------------------------------
Steckbriefangaben auswerten:
P_E in Funktion einsetzen
0 = a * 2^4 + b * 2³ + c * 2² + d * 2 + e
0 = 16a + 8b + 4c + 2d + e
P_W in Funktion einsetzen
0 = a * 0^4 + b * 0³ + c * 0² + d * 0 + e
0 = e
P_E in erste Ableitung einsetzen
0 = 4a * 2³ + 3b * 2² + 2c * 2 + d
0 = 32a + 12b + 4c + d
P_W in erste Ableitung einsetzen
1 = 4a * 0³ + 3b * 0² + 2c * 0 + d
1 = d
P_W in zweite Ableitung einsetzen
0 = 12a * 0² + 6b * 0 + 2c
0 = c
zusammengefasst:
(1) 0 = 16a + 8b + 2
(2) 0 = 32a + 12b + 1
----------------------------
0 = -4b – 3
b = -3/4
0 = 16a + 8 * (-3/4) + 2
a = 1/4
f(x) = (1/4) x^4 - (3/4) * x³ + x