Mathe Polynomfunktion von Grad 4?

der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 4 besitzt den Tiefpunkt T =(2|0) u d den Wendepunkt W= (0|0). Die Wendetangente bildet mit der positiven 1 Achse einen Winkel von 45 Grad. Ermittele eine Termdarstellung.

wie löst man dieses Beispiel? Man braucht dazu Bedinungen, das weiss ich: aber welche ?

Answer 1

[Najix]

der erste Schritt ist die allgemeinste Form eines Polynoms der Ordnung 4 aufzuschreiben:

$f\left(x\right)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4$

jetzt suchen wir die Koeffizienten:

Aus dem Wendepunkt W=(0,0) mit Winkel 45 Grad der Tangente zur positiven x-Achse ergeben sich folgende Bedingungen:

$f\left(0\right)=0\ \text{und}\ f'\left(0\right)=1\ \text{und}\ f''\left(0\right)=0$

aus dem Tiefpunkt T=(2,0) ergeben sich die folgenden Bedingungen:

$f\left(2\right)=0\ \text{und}\ f'\left(2\right)=0$

nun gilt allgemein

$f'\left(x\right)=b+2cx+3dx^2+4ex^3$ $f''\left(x\right)=2c+6dx+12ex^2$

Mit den Bedingungen des Wendepunktes oben sieht man sofort, dass

$a=0\ \text{und}\ b=1\ \text{und}\ c=0$

Aus den Bedingungen des Tiefpunktes kann man dann 2 lineare Gleichungen aufstellen und das Lösen dieses Systems ergibt dann die restlichen Parameter d und e mit

$d=-\frac{3}{4}\ \text{und}\ e=\frac{1}{4}$

Das heißt insgesamt

$f\left(x\right)=x-\frac{3}{4}x^3+\frac{1}{4}x^4$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Theoretische Physik und Mathematik