Sehr ungewöhnlich, dass man nach einem Monat schon eine kleine Klausur hat. Ich würde an deiner Stelle auf jeden Fall die Vorlesung besuchen und auch die Übungen wahrnehmen. Erfahrungsgemäß ist die Lernkurve im ersten Semester sehr steil, sodass man ziemlich schnell nicht mehr mitkommt. Da kann schon eine Woche Versäumnisse ausreichen.

Nehmen wir mal den einfachsten Fall von 2 Dimensionen: spezielle Matrizen können Spiegelungen und Drehungen darstellen.

Wenn wir den Punkt (1,0) an der y-Achse spiegeln, erhalten wir (-1,0). Wenn wir danach um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehen, landen wir bei (0,-1).

Jetzt sehen wir uns das in umgekehrter Reihenfolge an: wenn wir (1,0) nehmen und um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehen, haben wir (0,1). Wenn wir danach an der y-Achse spiegeln, bleiben wir aber bei (0,1), denn der Punkt liegt auf der y-Achse. Um wie im ersten Fall bei (0,-1) zu stehen, hätten wir an der x-Achse spiegeln müssen.

Also ist diese Matrixmultiplikation nicht kommutativ.

Ab der 10. Klasse gab es bei uns auch mal Freistunden, also Stunden zwischen zwei Unterrichtsstunden wo man freie Zeit zur Verfügung hat. Da war es praktisch die Unterlagen für alle Fächer immer dabeizuhaben um in den Freistunden die Hausaufgaben zu machen, auch für Fächer, welche man eigentlich nicht an diesem Tag im Stundenplan hatte. Daher habe ich ab der 10 Klasse alles in einem Ordner kompakt aufbewahrt.

Hi,

ein guter Anhaltspunkt ist die sogenannte MINT-EC Zertifizierung. Diese erhalten Schulen, welche sich in den Bereichen Mathematik Informatik Naturwissenschaften Technik (kurz MINT) besonders hervortun.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Verein_mathematisch-naturwissenschaftlicher_Excellence-Center_an_Schulen

Auf folgender Seite kannst du die MINT-EC Schulen in NRW einsehen:

https://bwnrw.de/sites/default/files/pdfs/MINT-ECNRW.pdf

In Köln selbst wären da das

• Friedrich-Wilhelm Gymnasium
• Irmgardis-Gymnasium
• J.-G.-Herder-Gymnasium
• Erzbischöfliche Ursulinengymnasium

Außerdem gibt es von Köln mehr oder weniger gut erreichbare Gymnasien wie das

• Otto-Hahn-Gymnasium, Bergisch Gladbach
• Gymnasium der Stadt Frechen
• Albert-Schweizer-Gymnasium, Hürth
• Landrat-Lucas-Gymnasium, Leverkusen
• Lise-Meitner-Gymnasium, Leverkusen
• Werner-Heisenberg-Gymnasium, Leverkusen
• Gymnasium Lohmar
• Gymnasium zum Altenforst, Troisdorf
• Käthe-Kollwitz-Gymnasium, Wesseling

Du kannst natürlich auch noch mal selbst auf die Liste schauen ob etwas von dir aus erreichbar ist, vielleicht ja auch zB in Bonn.

besuche doch die Webseiten der Schulen und sehe dir ihre Profile selbst an. Außerdem solltest du mitberücksichtigen wie du die Schule von deinem zu Hause aus erreichen kannst, manche sind gut an den ÖPNV angeschlossen, andere nicht.

Viel Erfolg bei der Suche!

Bei schriftlichen Prüfungen geht es natürlich hauptsächlich um das Lösen von Aufgaben. Daher bin ich immer sehr gut damit durchgekommen, wenn ich alle Altklausuren und Übungsaufgaben gut durchgerechnet habe. Im Skript lesen ist auch gut, war bei mir dann aber nicht die hauptsächliche Vorbereitung.

Bei mündlichen Prüfungen ist das anders. Da geht es mehr um Verständnis und daher habe ich dafür sehr viel im Skript gelesen und habe praktisch keine Aufgaben gerechnet.

Ich habe in der Schule die pq-Formel gelernt, seit dem Studium benutze ich aber nur noch quadratische Ergänzung

Du hast ganz vorne einen Vorzeichenfehler, die pq-Formel ist -p/2+-Wurzel((p/2)^2-q) und hier ist p=-12.

Mach doch lieber eine quadratische Ergänzung, dann passieren solche Fehler nicht. Also rechne:

z^2-12z+20=0

<=> z^2-2*6z+36=36-20
<=> (z-6)^2=16

<=> z=6+-4

Hi,

es gibt manchmal ein paar Tricks durch genaues Hinsehen. Bei dieser Matrix hier kann ich zB zwei der vier Eigenwerte ziemlich sofort sehen. Wir suchen ja E, sodass die folgende Determinante 0 wird:

     [-18-E  -16   -6    2 ]
0=det[ 16   14-E    6    2 ]
     [ 8      8    3-E   1 ]
     [-8     -8    -1   1-E]

Hier können wir die unterste Zeile auf die vorletzte Zeile addieren und außerdem die zweite Spalte von der ersten subtrahieren:

     [-2-E  -16    -6    2 ]
0=det[ 2+E   14-E   6    2 ]
     [ 0      0    2-E  2-E]
     [ 0     -8    -1   1-E]

und hier kann man zwei Dinge sehen: und zwar verschwindet die vorletzte Zeile für E=2, also ist das ein Eigenwert. Außerdem verschwindet die erste Spalte für E=-2, also ist das ein weiterer Eigenwert.

Bei den anderen Eigenwerten wird es etwas schwieriger, ich sehe die nicht sofort... Aber jetzt ist es auch nicht mehr so schlimm die Determinante auszuführen, denn wir haben einige Nulleinträge und können für die erste Spalte zB eine Laplace-Entwicklung machen. Dabei wird die Nullstelle in 2 sogar direkt ausgeklammert. Wenn du dann noch die andere Nullstelle bei -2 ausklammerst, ist das restliche Polynom von Grad 2 und kann einfach gelöst werden

Hi,

meine Vorlesung in klassischer Mechanik ist schon etwas her, daher musste ich mir gerade noch mal etwas auf Wikipedia anlesen, aber ich glaube es gibt mehrere Wege das zu lösen. Einer ist sehr trivial:

Eine Trafo ist kanonisch, wenn sich die Dynamik des Systems nicht verändert und das ist ja genau der Fall, wenn die Variation der Wirkung die gleiche bleibt. Hier wäre das also:



wobei die f-Terme unter der Variation verschwinden, weil die ja an festen t ausgewertet sind und daher Konstanten sind.

Eine andere Möglichkeit wäre die Transformation der Phasenraumkoordinaten q und p zu finden. q bleibt hier unangetastet, also gilt in den neuen Koordinaten

Und ableiten von L' nach der Zeitableitung von Q (die einfach die Zeitableitung von q bleibt) gibt uns den neuen Impuls P:



Jetzt musst du zeigen, dass diese Transformation kanonisch ist indem du die kanonischen Poisson-Relationen zeigst, die da wären:



Der Pol hat Ordnung 2, denn cos(z)-1 hat eine doppelte Nullstelle in z=0

Ein Abschnitt des Drahtes der Länge a hat anscheinend eine Masse m. Diese Masse verteilt sich dann auch die Länge a, daher kommt das m/a vorne. Jetzt kommt das δ(z). Dies sorgt dafür, dass wir uns in der xy-Ebene befinden (die Delta-Distribution ist ja überall 0, wo das Argument ungleich 0 ist). Dann ist da das δ(x-a). Das zeigt und an, dass das Stück Draht auf Höhe x=a liegt. Und jetzt muss noch die Länge des Drahtabschnitts abgesteckt werden, dafür sorgen die Heavisides: Θ(y) sorgt dafür, dass wir nur für y>0 einen Beitrag haben und Θ(a-y) sorgt dafür dass wir nur für y<a einen Beitrag sehen.

Du musst das jetzt für die anderen Bereiche analog machen: zB der Teil ganz unten hat Länge a, also steht vorne m/a und wir liegen in der xy-Ebene, also brauchen wir δ(z). Er liegt außerdem bei y=-a, also nehmen wir δ(y+a) hinzu. Um jetzt die Länge von x=0 bis x=-a abzustecken, nehmen wir Θ(-x), damit x<0 und Θ(x+a), damit x>-a. Bedeutet für dieses Stück finden wir insgesamt

m/a δ(z)δ(y+a)Θ(-x)Θ(x+a)

Du musst den Rand des Quadrates erst parametrisieren. Das kannst du für jede Seite machen und dann integrieren. Eine Parametrisierung für einen Umlauf im Uhrzeigersinn wäre zB:



hier soll t jeweils im Intervall [-1,1] liegen. r_1 beginnt dann oben rechts und läuft nach unten, von da geht r_2 weiter bis in die Ecke links unten, dann folgt r_3 nach oben und dann geht r_4 wieder zum Startpunkt. Jetzt kannst du mit dieser Parametrisierung das Feld über den Rand integrieren, das geht per Definition des Wegintegrals so:



Dabei ist r'_i die jeweilige Ableitung von r_i nach t, ist also die Geschwindigkeit der Parametrisierung und der Punkt bezeichnet das Skalarprodukt. Du integrierst daher den Anteil des Kraftfeldes, welcher parallel zum Weg steht (wenn ich mich senkrecht zur Kraft bewege leiste ich also keine Arbeit).

K_2 ist ein konservatives Feld, daher hängt ein Integral über einen Weg nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Hier sind Anfangs- und Endpunkt des Weges exakt gleich und somit ist die geleistete Arbeit genau null. Bei K_1 muss das nicht sein, denn es ist nicht konservativ.

Du kannst im ersten Schritt nicht einfach auf beiden Seiten den Logarithmus nur auf die ersten Terme anwenden, da steht immer noch eine Summe rechts und links! Löse das ganze erst mal nach exp(x) auf:

4exp(x+1)+2=2exp(x+2)+1

<=> 4exp(x)exp(1)-2exp(x)exp(2)=-1

<=> exp(x)(4e-2e^2)=-1

<=> exp(x)=-1/(4e-2e^2)

und jetzt kannst du den Logarithmus anwenden.

Wie du vielleicht weißt, ist Z_n nicht nur eine Gruppe, sondern auch ein Ring. Die Menge Z_n* bezeichnet dann alle Elemente von Z_n, welche invertierbar bezüglich der Multiplikation sind, die sogenannten Einheiten.

Wenn n eine Primzahl ist, dann ist das einzige Element von Z_n, welches nicht invertiebar ist bzgl der Multiplikation, das Nullelement, denn Z_n ist dann ein Körper.

der erste Schritt ist die allgemeinste Form eines Polynoms der Ordnung 4 aufzuschreiben:



jetzt suchen wir die Koeffizienten:

Aus dem Wendepunkt W=(0,0) mit Winkel 45 Grad der Tangente zur positiven x-Achse ergeben sich folgende Bedingungen:



aus dem Tiefpunkt T=(2,0) ergeben sich die folgenden Bedingungen:



nun gilt allgemein

 

Mit den Bedingungen des Wendepunktes oben sieht man sofort, dass



Aus den Bedingungen des Tiefpunktes kann man dann 2 lineare Gleichungen aufstellen und das Lösen dieses Systems ergibt dann die restlichen Parameter d und e mit



Das heißt insgesamt



Das ist tatsächlich nicht so simpel aufzustellen, denn für ein Intervall U (kann auch ganz IR sein) und eine injektive stetige Funktion f:U->IR gibt es immer eine stetige Umkehrung auf ihrem Bild f^-1:f(U)->U.

In der Topologie nennt man eine stetige bijektive Abbildung, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist einen Homöomorphismus. Solche Abbildungen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab und ihre Umkehrung tut das genau so. Daraus folgt, dass ein Homöomorphismus die Gestalt der beiden Mengen, die aufeinander abgebildet werden, erhält, in dem Sinne, dass beide die gleiche Anzahl an zusammenhängenden Gebieten haben, die gleiche Anzahl an Löchern, Hohlräumen etc.

Ich kann dir ein Beispiel in höherer Dimension geben für eine Funktion auf einem Intervall, die stetig bijektiv ist, aber deren Umkehrung nicht stetig ist:

nehme die Funktion f(x)=((cos(x),sin(x)) für 0<=x<2π. Diese bildet das halb-offene Intervall [0,2π) auf den um 0 zentrierten Kreis mit Radius 1 in zwei Dimensionen ab (nennt man auch den Einheitskreis S^1). Die Funktion ist stetig bijektiv, aber ihre Umkehrung ist im Punkt (1,0) nicht stetig.

Wie weit bist du denn? Hast du schon über die Geraden und die Definition von u und v gesehen, wie u und v begrenzt sind?
Wenn du das hast musst du eigentlich nur noch x und y als Linearkombination von u und v darstellen und die Jacobi-Matrix dieser Transformation aufstellen. Das Integral bestimmt sich dann dadurch, dass du (x-y) durch u im Integral ersetzt und zusammen mit der Jacobi-Determinante über deine berechneten Intervalle von u und v integrierst.

Wenn die Kraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, dann wirkt sie nicht tangential beschleunigend (also das Teilchen wird nicht schneller), sondern lenkt das Teilchen lediglich ab. Daraus hervor geht eine Kreisbahn, falls außerdem die Kraft betragsmäßig immer gleich groß bleibt.

WolframAlpha ist für vieles gut zu gebrauchen. Hier ein Beispiel für die Berechnung einer Hessematrix:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hessian+of+x%5E3%2By%5E2

Hi,

an sich ist das Kreuzprodukt nur in drei Dimensionen definiert. Es gibt aber ab und zu die Konvention, dass man für Vektoren im zweidimensionalen dann einfach eine dritte Komponente hinzufügt und diese für die gegebenen Vektoren 0 setzt. Dann kann man das Kreuzprodukt ausrechnen.
Wird z.B. benutzt um das reziproke Gitter eines 2D Bravais Gitters zu berechnen. Oder auch, wenn man den Flächeninhalt des Parallelogramms bestimmen will, welches durch die beiden Vektoren aufgespannt wird.