Wie geht diese Steckbriefaufgabe? ^
hallo,
gegeben ist die ganzrationale Fkt. 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur x-Achse verläuft. Die Fkt. hat einen Wendepunkt bei (1/0). die beiden wendetangenten scheinden sich senkrecht. (m1*m2=-1)
wie geht dieses aufgabe >.< !? danke
2 Antworten
Der Graph einer Funktion f kann nicht symmetrisch zu x-Achse verlaufen, denn sonst würde f jedem x-Wert mehr als genau einen y-Wert zuordnen. Damit aber wäre f keine Funktion. Du meinst also vermutlich "symmetisch zur y-Achse".
Nun, wenn der Graph einer ganzrationalen Funktion symmetrisch zur y-Achse verläuft, dann enthält der Funktionsterm nur Potenzen mit geraden Exponenten. Die allgemeine Form einer solchen Funktion sieht dann also so aus:
f ( x ) = a x ^ 4 + b x ^ 2 + c
Man benötigt daher 3 Gleichungen, um ein Gleichungssystem aufzustellen, mit dem man die Werte der drei Parameter a, b und c bestimmen kann.
Der erste Hinweis ist, dass der Punkt ( 1 | 0 ) auf dem Graphen liegt, also die Funktionsgleichung erfüllen muss.
Daher:
0 = a * 1 ^ 4 + b * 1 ^ 2 + c
<=> 0 = a + b + c
Der zweite Hinweis ist, dass dieser Punkt ein Wendepunkt ist, dass also gilt
f ' ' ( x ) = 12 a x ^ 2 + 2 b = 0
Damit erhält man für den Punkt ( 1 | 0 ):
0 = 12 a * 1 ^ 2 + 2 b
<=> 12 a + 2 b = 0
<=> 6 a + b = 0
Der dritte Hinweis ist, dass sich die beiden Wendetangenten senkrecht schneiden. Aufgrund der Symmetrie von f ist der zweite Wendepunkt der Punkt ( - 1 | 0 ). zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich - 1 ist. Die Steigung von f an der Stelle x aber ist durch die erste Ableitung von f an dieser Stelle gegeben. Damit sich also die Wendetangenten, die durch die Punkte ( - 1 | 0 ) und ( 1 | 0 ) verlaufen, senkrecht schneiden, muss das Produkt der ersten Ableitungen von f an den Stellen 1 und -1 gleich - 1 sein.
Die erste Ableitung von f ist:
f ' ( x ) = 4 a x ^ 3 + 2 b x
f ' ( -1 ) = - 4 a - 2 b
f ' ( 1 ) = 4 a + 2 b
Also:
( - 4 a - 2 b ) * ( 4 a + 2 b ) = - 1
<=> - 16 a ² - 16 a b - 4 b ² = - 1
<=> - 4 a ² - 4 a b - b ² = - 1 / 4
<=> 4 a ² + 4 a b + b ² = 1 / 4
Somit hat man also folgendes Gleichungssystem:
0 = a + b + c
0 = 6 a + b
4 a ² + 4 a b + b ² = 1 / 4
Aus der zweiten Gleichung folgt
b = - 6 a
Dies eingesezt in die dritte Gleichung ergibt:
4 a ² - 24 a ² + 36 a ² = 0,25
<=> 16 a ² = 0,25
<=> 4 a = +/- 0,5
<=> a = +/- 0,125
Daraus ergibt sich für b mit b = - 6 a
b = - 6 * +/- 0,125 = -/+ 0,75
Und für c mit a + b + c = 0 <=> c = - b - a :
c = +/- 0,75 -/+ 0,125 = +/- 0,625
Es ergeben sich somit zwei Funktionen, die die Aufgabenstellung erfüllen, nämlich:
f1 ( x ) = a * x ^ 4 + b * x ^ 2 + c = 0,125 x ^ 4 - 0,75 x ^ 2 + 0,625
und
f2 ( x ) = a * x ^ 4 + b * x ^ 2 + c = - 0,125 x ^ 4 + 0,75 x ^ 2 - 0,625
Die Graphen dieser beiden Funktionen sind zueinander symmetrisch. Symmetrieachse ist die x-Achse (vielleicht war ja das gemeint, als in der Aufgabenstellung von einer symmetrisch zur x-Achse verlaufenden Funktion die Rede war...?)
Und so sehen die Graphen dieser beiden Funktionen aus:
ja ich meinte symmetrisch zur y-achse :)
ich hab mich verlesen danke vielmals ! :)
Haben die Frage heute in der Schule gelöst und das vorherige Ergebnis stimmt aber der rechenweg war etwas falsch da (-4a-2b)×(4a+2b)=-1 nicht zu 16a^2-16ab-4b^2 wird sondern die 3.Binomische Formel als Ergebniss 16a^2-4b^2 wäre also sollte man es mit dem Parameter versuchen
Ist tatsächlich falsch, bei (-4a-2b)*(4a+2b) kann man die 3. binom. Formel nicht anwenden, dies ginge nur wenn es in der ersten Klammer 4a statt -4a wäre. Die Lösung in der ersten Antwort ist richtig.