Steckbriefaufgabe in Mathe?
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch den Ursprung, geht durch den Punkt P(1/-1) und hat an der Stelle x=2 einen Extrempunkt. Wie stelle ich hierzu die 4 nötigen Bedingungen auf? Bitte helft mir...
2 Antworten
f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +ao
Bedingung durch den Ursprung also x=0 y=0 ergibt ao=0
abgeleitet f´(x)= 3*a3 *x^2 +2 *a2 *x + a1
Dies ergibt ein "lineares Gleichungssystem " (LGS) mit 3 Unbekannte und 3 Gleichungen
1. a3 *1^3 + a2 *1^2 +a1 *1 = - 1 aus P(1/-1)
2, a3 *3*2^2 +a2 *2 *2 +1*a1=0 aus den Extrempunkt x=2
3. a3 * 3 *(-2)^2+a2*2*8-2)+1 *a1= 0 aus den 2.ten Extrempunkt x=-2
Dies schreiben wir um in ein LGS
1. 1*a3 + 1*a2 +1*a1= - 1
2. 12 *a3 +4*a2 + 1*a1=0
3. 12*a3 -4*a2+1*a1= 0
Lösung mit meinen Graphikrechner (casio) a3=0,0905 u.a2=0 u. a1=-1,09
ergibt die Funktion f(x)= 0,0905 *x^3 - 1,09 *x
Hinweis : f(x)= a3 *x^3+a2 *x^2 +a1*x abgeleitet
f´(x)= 3*a3 *x^2 +2*a2 *x + a1 ist eine Parabel
Normalform 0= x^2 + p *x + q Lösung mit p-q-Formel
2 reelle Nullstellen x1 und x2
Mit den Extrempunkt x= 2 ist eine reelle Nullstelle gegeben und automatisch auch die 2.te x2= - 2
Beispiel x1,2= Wurzel( 25) ergibt x1= 5 und x2=-5
Der selbe Sachverhalt liegt hier beim Extrempunkt x=2 vor !!
f(0)=0
f(1)=-1
f'(2)=0
Das ist eine Gleichung zu wenig, denn Du hast es mit vier Unbekannten zu tun. Die Aufgabe ist mit diesen Angaben nicht eindeutig lösbar.
Nein, aber damit kommst du auf ein Funktionsschar, mit dem du die Lösungen bestimmen kannst (z.B. a=2, b=7 c=-10, d=0). Für eine eindeutige Lösung fehlt in der Aufgabenstellung noch eine Bedingung.