Rekonstruktion ganzrationaler Funktion mit Extrempunkt?
Hi,
Ich war in der ersten Woche (Einführung zum Thema nicht da, weil ich im Krankenhaus bin) Ich habe nach Aufgaben gefragt und habe welche geschickt bekommen
Das Video von The Simple Club hilft nicht...
"2. Geducht ist die Gleichung einer Ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph punkt symmetrisch zum Ursprung verläuft und in T(-2|-4) einen Tiefpunkt hat"
3 Antworten
Hallo,
eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist grundsätzlich nach folgendem Schema aufgebaut:
f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Es sind also die vier Koeffizienten a, b, c und d zu bestimmen.
Für jede braucht man eine von den anderen unabhängige Information, aus der man dann jeweils eine Gleichung basteln kann.
Vier Unbekannte, vier Gleichungen, die ein System bilden, das zu lösen ist.
Bei den Modellierungsaufgaben wie der vorliegenden stehen die Gleichungen nicht in Reinform da, sondern sind in gewisser Weise kodiert.
Das bedeutet: Du mußt die benötigten Informationen den Aussagen entnehmen, die über die Funktion gemacht werden.
Hier lauten die Informationen:
Punktsymmetrie ist vorhanden; außerdem ist Punkt (-2|-4) ein Tiefpunkt.
Das sind nur auf den ersten Blick zwei Informationen für vier Unbekannte.
In Wirklichkeit reichen sie völlig aus.
Allein die Information Punktsymmetrie killt schon zwei Unbekannte.
Eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion besitzt keine Variablen mit geraden Exponenten. Es fallen also bx² und d (=d*x^0) sofort weg.
Das Schema einer punktsymmetrischen Funktion 3. Grades (punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung wohlgemerkt, denn punktsymmetrisch zu irgendeinem Punkt sind die alle) lautet: f(x)=ax³+cx.
Du mußt also nur noch a und c bestimmen, brauchst also nur noch zwei Gleichungen.
Diese beiden Gleichungen liefert Dir die andere Information: Tiefpunkt (Minimum) bei (-2|-4). Das bedeutet zum einen: f(-2)=-4.
Wenn Du also für x eine -2 einsetzt, kommt als Funktionswert eine -4 heraus:
a*(-2)³+c*(-2)=-4
Vereinfachen:
-8a-2c=-4, erste Gleichung.
Außerdem ist der angegebene Punkt ein Minimum des Funktionsgraphen. Wenn der Graph ein gebirgiger Weg wäre, wärest Du dort in einem Tal und würdest dort weder bergauf noch bergab gehen.
Eine Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen angelegt wird, verläuft waagerecht (das tut sie auch bei einem Maximum oder einem Sattelpunkt, aber sonst nirgends).
Die Ableitung der Funktion bei x=-2 muß daher 0 sein, denn waagerecht bedeutet eine Steigung von Null.
Die Ableitung von f(x)=ax³+cx lautet f'(x)=3ax²+c.
Setzen wir hier für x eine -2 ein, muß 0 herauskommen:
3a*(-2)²+c=0
Vereinfacht:
12a+c=0
Das ist die zweite Gleichung.
Nun hast Du ein System von zwei Gleichungen:
-8a-2c=-4
12a+c=0
Die erste Gleichung kannst Du durch -2 teilen:
4a+c=2, also c=2-4a
Auch die zweite Gleichung kannst Du nach c auflösen:
c=-12a.
Wenn c einmal 2-4a ist und andererseits auch -12a, muß 2-4a das Gleiche sein wie -12a.
2-4a=-12a |+12a-2
8a=-2
a=-2/8=-1/4
Einsetzen von a=-1/4 in eine der beiden Gleichungen:
c=-12*(-1/4)=3
Also a=-1/4 und c=3 bedeutet:
Die Funktionsgleichung lautet f(x)=(-1/4)x³+3x.
Herzliche Grüße,
Willy
Dankeeeeee Nierenschmerzen sind endlich weg :D
Dankeeee yep vor allem Nierensteine und diese Ärzte verschieben OP wegen es zu viele Notfälle gibt ich verpasse ein haufen Stiff, immerhin jede Klausur durch. Und in Mathe 10 Punkte mit Nierenschmerzen einfach Klausur ruiniert Dankee
Dritter Grad:
f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d
T(-2/-4) bedeutet, dass Punkt P(-2/-4) auf den Graphen liegt.
Sprich:
f(-2) = -4 und
f'(-2) = 0
Punktsymmetrisch bedeutet, dass
deine Funktion in der Form
f(x) = ax^3 + cx
vorliegt.
Nun hast du zwei unbekannte Variablen und erstellst mit den Angaben ein Gleichungssystem, mit welchem du diese berechnest. Dann kannst du die Funktionsgleichung aufstellen.
warum brauch ich f'(x)? Ist das mein 2. Punkt? und brauch ich nicht 3 Punkte um eine Funktion aufstellen zu können?
f'(x) brauchst du, weil ein Extremum gegeben ist.
Da ist f'(x) = 0.
Du brauchst nicht drei Punkte für die zwei Koeffizienten,
sondern nur drei unabhängige Informationen.
was soll ich aber mit der Ableitung machen... Sorry falls ich idiotisch klinge aber mir fehlen die Grundlagen zum Thema weil ich im Krankenhaus war und heute bin ich dort immer noch.
Dann schaue dir Videos dazu auf YouTube oder so an. Daniel Jung z.B. kann immer sehr schülerfreundlich und verständlich erklären. Selbststudium mein lieber. Denk doch mal selbst nach und überlege, wie du an Wissen kommst. Oder bist du nur davon abhängig immer alles von anderen erklärt zu bekommen und nicht selbstständig zu handeln?
Was erwartest du, wenn du hier diese Frage stellst? Niemand wird dir hier ausführlich erklären, wie man eine Funktion rekonstruieren kann. Es sind Ideen, Tipps bzw. in dem Fall sogar schon formulierte Ansätze. Im nächsten Schritt bist du selbst gefragt und musst deinen Kopf selbst mal benutzen, als ihn andere für dich nutzen zu lassen
Welche Angaben liest Du denn aus der Beschreibung des Graphen raus?
ganzrational
3. grad
punktsymmetrisch und den Tiefpunkt
Gut. 👍
Und welche Informationen bekommst Du aus
- 3. grad
- punktsymmetrisch
- Tiefpunktkoordinaten
?
eine Funktion aber ich weiß nicht welcje Ansätze mir weiterhelfen
Wie lautet denn allgemein die Funktionsgleichung einer "Ganzrationalen Funktion dritten Grades"?
(Und das Video vom Simple Club hilft...)
Das es ein Tiefpunkt ist, ich brauch den Joker.
Ich komm leider nicht weiter
Hab die Grundlagen nicht vollständig zum Thema und brauche ein Beispiel, damit ich es versteh
aber danke für die Beschäftigung im Krankenhaus
Das es ein Tiefpunkt ist, ich brauch den Joker.
Ich komm leider nicht weiter
Wie verhält sich denn die erste Ableitung an so einem Tiefpunkt?
Hab die Grundlagen nicht vollständig zum Thema
Kurvendiskussion kannst Du? Also ableiten, Bedeutung der einzelnen Ableitungen usw?
und brauche ein Beispiel, damit ich es versteh
Oh Mein, Gott Dankeeeeeeeeeeeee