Kurvendiskussion: Kann f(x)= 4xe^(-0,5x)+36,6 überhaupt eine Nullstelle haben?

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6 Antworten

Ja !

An der Stelle für x an der 4 * x * e^(-0,5 * x) den Wert -36,6 annehmen würde, könnte eine Nullstelle sein.

Ob das auch wirklich der Fall ist, das können wir mal ausprobieren -->

4 * x * e ^ (-0.5 * x) = -36.6 | : 4

x * e ^ (-0.5 * x) = -9.15

9.15 + x * e ^ (-0.5 * x) = 0

Nun führen wir eine Hilfsfunktion ein -->

h(x) = 9.15 + x * e ^ (-0.5 * x)

und bilden auch sofort die 1-te Ableitung -->

h´(x) = (1 - 0.5 * x) * e ^ (-0.5 * x)

Nun Stellen wir eine Wertetabelle für h(x) auf -->

http://goo.gl/RWFikv

Anhand der Wertetabelle auf der Webseite können wir sehen, dass sich zwischen x = -3 und x = -2 eine Nullstelle befinden muss, weil es dort zu einem Vorzeichenwechsel von - nach + kommt. Weil der Absolutwert von h(x) an der Stelle x = -2 kleiner ist, als an der Stelle x = -3, ist der Näherungswert x = -2 geeigneter.

Nun wenden wir das Newton-Verfahren an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Das Newtonverfahren läuft folgendermaßen ab -->

1.) Wähle einen Startwert für x, den kannst du anhand einer Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten.

2.) Berechne -->

z= x - h(x) / h´(x)

3.) Vergleiche z und x miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden, dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu 6.)

4.) Setzte x = z

5.) Springe zu 2.)

6.) Setze x = z

7.) x ist das Endergebnis, beende den Algorithmus jetzt.

Für das Newtonverfahren brauchen wir die zu untersuchende Funktion, die 1-te Ableitung dieser Funktion und einen Startwert.

Das haben wir alles.

h(x) = 9.15 + x * e ^ (-0.5 * x)

h´(x) = (1 - 0.5 * x) * e ^ (-0.5 * x)

Startwert x = -2

Mit dem Startwert x = -2 erhalten wir nach 5 Iterationen den Wert

x = -2.55298288772328

An der Stelle befindet sich deine Nullstelle.

Kommentar von Willy1729
21.02.2016, 21:52

Ich habe direkt mit dem Newton-Verfahren gerechnet ohne Hilfsfunktion. Funktioniert auch. Praktisch ist da immer eine Tabellenkalkulation.

Herzliche Grüße,

Willy

1

Vor der Exp-Funktion steht ein "Mal x" das natürlich - egal bei welchem festen Offset - irgendwann zu 0 "runterdrückt" siehe Plott - Bild

Natürlich hattet Ihr in der Schule keine LambertW-Funktion, sondern probiert mit Näherungslösungen wie

- grafisch ablesen

- Newton-Iteration

- Bisektion

Aber als Mathe-Experte hier die 4 exakten Lösungen:

4*x*exp(-x/2)+366/10=0
4x*exp(-x/2)=-366/10 |/4
x*exp(-x/2)=-366/40
gehört zum Aufgabentyp
http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
§6 mit a=-1/2, b=-366/40, p=0, h=1
x=h/a * LambertW(n, a/h * (-1)^(2*N/h) * (b/e^p)^(1/h)) ; n=-2...1
x=-2 * LambertW(n,-1/2 * (-1)^(2*N) * (-366/40))
x=-2 * LambertW(n,-1/2 * (-1)^(2*N) * (-366/40))
x=-2 * LambertW(n,183/40) 

 n | x 4 Lösungen:
-2 | 1.74557956845259857757595759+21.831574753841019268216043 i
-1 | 0.05665661479094891000187500+9.41273982274614478721407781 i
 0 | -2.55298288772327993586607570
 1 | 0.05665661479094891000187500-9.41273982274614478721407781 i
Probe (bei komplexen Ergebnissen immer wichtig!):
alle 4 x in Ausgangsformel ergeben 0 -> OK

P.S.: alle guten Rechner (wie der im LINK) kennen die LambertW-Funktion

und ohne den 1. Parameter schreiben viele kurz:

W(x)=LambertW(0,x)

kannst doch die Probe machen und deinen Wert für x einsetzen;

ansonsten musst du dich annähern und gucken, ob Vorzeichenwechsel kommt.

Hallo,

diese Funktion kann nicht nur eine Nullstelle haben, sie hat auch eine bei x=-2,553. Zu berechnen geht das am besten durch ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren oder durch eine Wertetabelle.

Die e-Funktion selbst wird zwar niemals gleich oder kleiner als Null, hier wird sie aber mit 4x multipliziert. Wenn x negativ ist, kann die Funktion durchaus negativ werden. Diese wird und bleibt negativ für alle x kleiner als -2,553.

Herzliche Grüße,

Willy

Scheint irgendwo in der nähe von -3 zu sein. Das lässt sich aber nur annähern. Oder Lambertsche W-Funktion, aber das lass ich gleich mal wieder.

Wolfram Alpha sagt ja:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Zeros[4*x*e^%28-1%2F2*x%29%2B36.6]

scheint aber ohne weiteres nicht sehr einfach zu berechnen zu sein. Wüsste leider gerade auch nicht welche Tricks man da anwenden muss.

lg

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