Funktionsgleichung = 0 setzten und mit beliebigen Faktor multiplizieren möglich?
Guten Tag,
wenn ich bei einer Kurvendiskussion eine Funktionsgleichung oder deren Ableitung = 0 setzte, kann ich diese mit einem beliebigen Faktor multiplizieren?
Als Beispiel
f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 8x + 4 = 0
Könnte ich jetzt durch 2 dividieren oder verfälsche ich damit das Ergebnis, also Nullstellen, Extrema etc. ?
6 Antworten
f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 8x + 4 = 0
für a ungleich 0: a*f(x) = a*(2x^3 + 4x^2 + 8x + 4) = a * 0 = 0
Das gilt natürlich auch für a = 0, allerdings gibt es dann keine verwertbare Relation zu x mehr.
Der Faktor ändert überhaupt nichts. Der Faktor skaliert nur, ohne die Lösungsmenge zu ändern.
Warum ist das so? Man kann Nullstellen in der Regel als Faktoren schreiben, z.B.
f(x) = x² - 3x - 10 = (x - 5)* (x + 2) die Nullstellen sind deutlich x = 5 und x = 2.
Daran ändert sich aber gar nichts, wenn man ein a ungleich 0 voransetzt mit
a*(x - 5) * (x + 2)
Ja.
Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe machst, dann ist es eine Äquivalenzumformung und ändert NICHTS am "Ergebnis" (Nullstellen, Extrema etc).
Wenn auf einer Seite der Gleichung 0 steht, dann sieht es oberflächlich nur so aus, als würde man nur 1 Seite der Gleichung multiplizieren, aber das scheint nur so, weil Multiplikation mit 0 immer wieder 0 ergibt.
Du darfst in einer Gleichung alle Äquivalenzumformungen durchführen, die Dir einfallen. Es müssen halt Äquivalenzumformungen sein, das heißt: Du musst auf beiden Seiten der Gleichung halt dasselbe tun.
Wenn du eine Funktionsgleichung hast wie f(x) = 2 * (x - 1) * (x + 3) und du diese Funktionsgleichung durch 2 teilst, dann hast du g(x) = 2 * (x - 1) (x + 3)
Die y-Koordinate des Extrempunktes ändert sich. Gleich bleiben die x-Stellen von Extrempunkten sowie die Nullstellen.
Genau! Nur Deine Antwort, beschreibt das was der Fragesteller eigentlich fragen wollte und beachten sollte.
Da haben die anderen Antwortgeber (Alle sind Experten die ich sehr schätze), die Frage nicht genau verstanden oder ernst genommen.
LG,
Heni
Zur Ergänzung: Multiplikation einer Funktionsgleichung mit einem Faktor entspricht einer Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse. Da die Nullstellen auf der x-Achse liegen bleiben sie aber dort wo sie waren.