Bitte immer eindeutige Trennzeichen: 1,8,1,4,7,0,7,0,... ! Da diese Aufgabe jedoch schon mehrfach im Internet abgeschrieben wurde, will der Aufgabensteller vermutlich nur die periodische Folge 7,-7,3,3,-7 rekursiv hinzugefügt haben (Differenz 2er Glieder). Periodische Folgen kann man per trigonometrischer Interpolation beschreiben { Sqrt[5] = "Wurzel von 5" }:

(2 Sqrt[5] + 18/5) Cos[4 Pi n/5] - (2 Sqrt[5] - 18/5) Cos[2 Pi n/5] - 1/5

In der Rekursion wird also diese Funktion pro Glied hinzugefügt:

a(n+1)=a(n)+(2 Sqrt[5] + 18/5) Cos[4 Pi n/5] - (2 Sqrt[5] - 18/5) Cos[2 Pi n/5] - 1/5 mit Startglied a(0)=1 ergibt Folge 1,8,1,4,7,0,7,0,3,6,...

Zugabe 1: solche Rekursionen kann man in explizite Formeln wandeln & dann zeichnen:

f(x)=(115-5*x-(Sqrt[10-2*Sqrt[5]]*(25+9*Sqrt[5]))*Sin[(2/5)*(1-2*x)*Pi]+(25-9*Sqrt[5])*Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])] Sin[(Pi-2*(x*Pi))/5])/25

Der Aufgabensteller kennt sich jedoch schlecht in der Mathematik aus, denn ohne Randbedingungen gibt es für diese "endliche Zahlenfolge" UNENDLICH viele Algorithmen (Bildungsgesetze). Als ich mal Lust hatte, stellte ich über 130 Stück vor. Heute habe ich wenig Zeit, deshalb nur noch eine

Zweite gültige Lösung:

Polynominterpolation (lese Wiki)

f(x)=((x-7)*(x-5)*(12-x*(x*(x*(201+10*(x-9)*x)-3)-246)))/420 ergibt Folge

1,8,1,4,7,0,7,0,-427,...

Um zu zeigen, dass beide Lösungen exakt stimmen, hier die Zeichnung (Liniendiagramm die Schnittpunkte bei ganzzahligem n):

Es ist für einen Mathematiker kein Problem, jede Stunde einen weiteren Algorithmus vorzustellen, da die Mathematik GRENZENLOS ist (im Gegensatz zum Aufgabensteller, der nur seine EINZIGE Lösung kennt & denkt, dass alle anderen auch so denken wie er).

Lösung 3: Nachkommastelle in Pi:

Ab Position=25350023 Nachkommastellen=181470708123354851578...

Was man unter http://www.pi-e.de/ selbst suchen kann. Da ich 31 TB habe & alle 1 Mrd. Stellen mindestens 1 8stellige Folge auftaucht, könnte ich hier locker 31000 weitere Folgen vorstellen...:

Pos=1032651147, NK=18147070082489614885557..

Pos=2476714871, NK=1814707069554864766936...

...

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Auch wenn die "Hilfreichste Antwort" bereits vergeben wurde, hier noch einige Fakten:

Vorsicht bei trigonometrischen Funktionen per GMP: oft wird nur bis 200000 Stellen richtig gerechnet -> deshalb ist Validierung mit anderen Algorithmen wichtig!

  Oft ist https://github.com/Mysticial/NumberFactory

 sehr viel schneller, weil FFT Multiplikation & Multithreading verwendet wird!

Wenn Du eine konkrete Formel hast, würde ich gern Geschwindigkeitsvergleiche (und letzte Stellen, weil meist falsch!) mit anderen Programmen machen, da es gerade bei Zahlen um 1 Mrd. Stellen große Unterschiede gibt: Bis Faktor weit über 50000

Für 3^x=pow(3,x) habe ich das mal verglichen: http://www.gerdlamprecht.de/Bilder/Vergleich3HochX_Mio.png

Das für c# mitgelieferte BigInteger.Pow ist da über 52000 mal langsamer!

Dann wird auch gern bei der Zeitmessung geschummelt: intern kann man hexadezimal schneller rechnen. Die Wandlung der Hex-Zahl in eine dezimale kann sogar langsamer sein (wird gern der Speicherzeit mit untergeschoben), als die eigentliche Berechnung.

Grüße

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Hier noch mal der LINK für die, die das %20 vor http mit im LINK hatten und es nicht allein löschen konnten:

https://www.lamprechts.de/gerd/Algorithmen-zur-Zahlenfolge-10-15-9-31-74.htm

Und für alle LINK-Verweigerer: a[n]=3*a[n-3]-a[n-2]+a[n-1]+7

Und für alle Nicht-Formel-Versteher:

3*10-1*15+1*9+7 = 31

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Dein ^^ mag zwar in einigen wenigen Sprachen bekannt sein ( 3^^3 = 3^3^3 ).

Ich kenne aber kein "Rechner", der diese Tetration https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

mit Syntax x^^y berechnen kann. (Nur Funktionsnamen)

So wie x^n die n malige Multiplikation von x ist, so ist

Tetration(x,n) die n malige Potenzierung von x.

Tetration(2,4)= 2^2^2^2 = 65536

In Mathematica schreibt man das

Nest[Power[2, #]&, 1,4] -> der 2. Parameter muss also immer GANZZAHLIG sein!

(im Gegensatz zum Potenzieren, denn da hat man die e-Funktion mit Hilfe der Reihenentwicklung auch für reelle Zahlen)

Beachte: Potenztürme ohne klammern bedeuten von hinten beginnen:

2^2^2^2=2^(2^(2^2))

Unter https://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

habe ich Tetration eingebaut:

Tetration (1.5,14) ergibt schon eine Zahl mit

264007110309346 Stellen!!!!

Potenzieren mit reellen Zahlen oder komplexen Zahlen mit:

x^y = Pow(x,y)= e^(ln(x)*y)= Exp[Log[x]*y]

Tetration(e,5)=10^(1.0125594950 e1656520)=10^(1.012559495*10^1656520)

Zahl mit 10^1656520 Stellen!!!

komplex:

Tetration[2.5+3.5i,4]=0.343785+0.0800288 i

Es gibt tatsächlich Näherungsformeln für reelle Zahlen des 2. Parameters, aber ohne Praxisbezug: https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Higher_order_approximations_for_real_heights

Wenn Dich einzelne Funktionwerte oder Kurvenverläufe interessieren, frage nach.

Ich berechne gerade Tetration(e,e)...

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Ohne Randbedingungen gibt es unendlich viele Lösungen, da die theoretische Mathematik unendlich vielfältig ist!

Lösung 1: Absolutbetrag aus 3 Vorgängergliedern ...

Der Iterationsrechner rechnet das mit 1 Klick online vor:

hier klicken

Lösung 2: Du willst eine -1 an der bestimmten Stelle -> Interpolationspolynom

(x*(x*(x*(x*(x*(x*(x*((30591-718*x)*x-544848)+5263398)-29916894)+101394279)-197407892)+198130932)-76223088))/181440-3

hier vorrechnen lassen

Man kann immer so weitermachen...

Aber das verstehen leider die Aufgabensteller oft nicht, weil sie denken, dass Ihre Lösung, an der sie denken, die einzige sei...

Also: Randbedingungen (Einschränkung der unendlich vielen Möglichkeiten) müssen vom Aufgabensteller mit angegeben werden, damit die Antwort eindeutig werden kann!

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Diese Frage beantwortet folgende Seite:

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

also die Anzahl aller dezimalen Nachkommastellen einer mathematischen Konstante die benötigt werden, um alle n-stellige Zeichenketten (Zifferkombinationen) garantiert zu finden.

Dein xxx 321|123 xxx ist eine 12stellige Zahl und

A036903(12) liegt etwa bei 27500000000000 also 27,5 TB und ich habe über 31 TB

-> sollte also garantiert zu finden sein.

Es funktioniert immer nur mit Teil-Symmetrien!

Beispiel:

123321123321 an pos 125308006171

1 Nachkommastelle davor (also 14 Stellig) schon nicht mehr symmetrisch:

Pos=125308006170 NK=6123321123321220...

Oder Pos=72913995617, NK=877605039398765445678915799792606289... mit Teilsymmetrie 987654456789

Die Zahlenfolge A036903 geht gegen unendlich, genau wie die Anzahl der Nachkommastellen unendlich ist. UNENDLICH bedeutet "ohne Ende" -> eine Suche wie Deine nach "Endpunkten" gibt es also nicht, weil sie NIE endet!

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Gerade in der Statistik will man ja Tendenzen erkennen und nimmt Regression:

a) lineare: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Einfachregression

b) nichtlineare: hier gibt es neben der exponentiellen noch unendlich viele andere Funktionen

Beim "Fit" werden meist nur wenige Punkte (meist 3) einbezogen und es wird einfach nur ein Teilstück "glatt" gezogen (wie Gummiband). Eine Tendenz (Vorhersage für die Zukunft) ist damit kaum möglich.

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Unter http://www.gerdlamprecht.de/Integral_Substitutionen.html

§A2 findet man nicht nur ein interessantes Beispiel, sondern auch die exakte

Langschreibweise unter §A2d, die leider von vielen Lehrern nur in der abgekürzten Schreibweise angeboten wird.

Wie man das richtig anwendet:

http://www.gerdlamprecht.de/Bilder/partielleIntegration.png

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Du hast leider nur von Seite 421 einen kleinen Ausschnitt kopiert. Die komplette Erklärung geht aber von Seite 406...424! Das kann man nicht mit wenigen Worten erklären!

Quelle ist

https://books.google.de/books?id=1csMAwAAQBAJ&pg=PA421&lpg=PA421&dq=%22Zweites+Beispiel+f%C3%BCr+n%3D17%22&source=bl&ots=HJmBVTSbqH&sig=ACfU3U1Ca1rO8wqIpb2i7TzLbwb5ZMxmBg&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjL-6z0rK_sAhWLGewKHcotBk4Q6AEwAXoECAEQAg#v=onepage&q=%22Zweites%20Beispiel%20f%C3%BCr%20n%3D17%22&f=false

und

https://books.google.de/books?id=cl93CgAAQBAJ&pg=PA421&lpg=PA421&dq=%22Zweites+Beispiel+f%C3%BCr+n%3D17%22&source=bl&ots=E68qNJYfYm&sig=ACfU3U19N6uX1JduaZEkP5-mU8lNn66PLQ&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjL-6z0rK_sAhWLGewKHcotBk4Q6AEwAHoECAIQAg#v=onepage&q=%22Zweites%20Beispiel%20f%C3%BCr%20n%3D17%22&f=false

(von je einer Quelle ist einiges weggelassen; mit beiden Quellen bekommt man fast alles...)

Hinweis:

Heute kennt man längst die fertigen pq- & PQRST-Formeln und braucht nur die Parameter einsetzen:

https://www.lamprechts.de/gerd/Bilder/QuadratischeGleichung_p-q-Formel_KubischeGleichung_PQRST-Formel.png

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Der Lehrer will von Euch nur wissen, ob Ihr das Wort "Anstieg" verstanden habt. Wenn also f' gegeben ist, bedeutet f(x) die Integration dieser roten Anstiegskurve. Anders: Wie muss die blaue Kurve grob aussehen, damit sich f'(x) - also die rote Anstiegskurve - daraus ergibt.

Wenn f bei -2 beginnen soll, bedeutet das: Offset, also Integrationskonstante -2.

Am Anfang sieht Deine Bleistift-Kurve noch gut aus, wird dann immer ungenauer ... ABER bei x=4 und x=6 bedeutet Nulldurchgang der roten Kurve, dass die blaue waagerecht (Anstieg =0) sein muss!

Da die rote Kurve im Gegensatz zur sin-Funktion einen "runden Bauch" hat, wird die explizite Funktionsgleichung für Schüler viel zu kompliziert. ABER genau das reizt mich mal wieder (den Lehrer interessiert das weniger!):

f(x)=pow(sin(x*PI/(4-2*(atan((x-4)*1e6)/PI+1/2))),pow(cos(x*PI/(4-2*(atan((x-4)*1e6)/PI+1/2))),2)/2+1/2)*(2-3*(atan((x-4)*1e6)/PI+1/2))

mit pow(x,y)=x^y = x hoch y

Die symbolische Integration davon kann nicht mal WolframAlpha.

Also habe das mal numerisch durchrechnen lassen:

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Normalerweise helfe ich nicht bei Knobelaufgaben, aber Dein

"...Fibonacci

...Zahlenreihenfolge: 4027881710228340703858581327009117662422484631" passt nicht zusammen. Was z.B. stimmt:

Fibinacci(440)=40278817102283407038585813270091176624224846310456696876645445975772848265708967220435913205

Deine 46 Ziffern stimmen also mit den ersten des 92stelligen Funktionsergebnisses der Fibonaccifunktion beim Argument 440 überein.

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Ich hatte die Frage zwar schon mehrfach beantwortet

( https://www.gutefrage.net/frage/formel-zur-berechnung-von-primzahlen#answer-70523627 mehr: http://www.gerdlamprecht.de/Primzahlen.htm )

aber die Frage kommt immer wieder und die meisten verstehen sie auch nicht. Ich kann gern kleine Werte mal vorrechnen. Für große Argumente ist sie ungeeignet, weil der Berechnungsaufwand exponentiell ansteigt. Da nimmt man lieber NextPrime-Algorithmen.

Prime(1)=2

Prime(2)=3

Prime(3)=5)

... Prime(1000)=7919...

https://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php kann auch

Prime(1000000000000000000000000)=58310039994836584070534263

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Wenn man wie ich, wirkliche mathematische Brocken berechnen will wie

25000000000 Nachkommastellen von Pi..

über 1 Mio. 2000stellige Primzahlen suchen...

dann sind 100 % CPU-Last normal und sollten einen richtig konfigurierten PC nichts ausmachen.

ABER meist wollen viele Programmieranfänger nur sehr wenig berechnen und haben wichtige Regeln nicht beachtet.

Beispiel 1: regelmäßig etwas abfragen

for i=1 to ... (oder while...)

if(hier das, was ich wissen will) then ...

Next

Erzeugt auf 1 Kern 100 % CPU Auslastung. Bei einer 1 Kern CPU ohne Hyperthr. macht das 100% CPU-Gesamtlast. Auf einer CPU mit 20 virtuellen Kernen macht das 5 % Gesamtlast.

Schon die kleine Erweiterung

for i=1 to ...

if(hier das, was ich wissen will) then ...

sleep(10);

Next

Kann die Gesamtlast auf 1 % oder weniger senken (wenn das "innere von IF schnell funktioniert), da dieser 1 Thread pro Zyklus 10 ms performance-los wartet (was man als Anwender nicht mitbekommt, da die Reaktionszeit des Menschen fast 10 mal länger ist).

Wenn aber das "Innere von IF" eine Funktion ist, die auch wieder schlecht programmiert ist (z.B. auch wieder eine Schleife ist, die über 100 ms mit 100% arbeitet), bringt die 10 ms Pause kein Effekt!

Noch "sauberer" wäre es, wenn man statt des Wartens keine For-Schleife, sondern "Events" (Ereignisse) verwendet. (was aber nicht immer machbar ist)

Wenn Du uns berichtest, wozu Du 1,5 h rechnest, kann ich genauer helfen.

Beispiel: wenn man mit .NET große Potenzen berechnet (x^y mit 1 Mrd. Stellen) dauert das wirklich Stunden. Selbe Berechnung dauert mit der gut optimierten c-Bibliothek nur wenige Sekunden!

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Es fehlen 2 wichtige Randbedingungen in der Frage:

1) welche Größe & "Faktorisierbarkeit" hat die gegebene Zahl:

a) kleiner als 100 Stellen oder leicht faktorisierbar

b) größer als 200 Stellen oder schwer faktorisierbar

2) welche Funktion kann als "bekannt" angesehen werden

a) Grundrechenarten

b) Primfaktorzerlegung

c) Divisors[x]

Für 1) a) und 2) b) hat mihisu bereits gut geantwortet.

Für 1) b) gibt es RSA-Zahlen ab etwa 250 Stellen, die selbst mit 100 Computern bis zum heutigen Tage nicht in ihre Primfaktoren zerlegt werden konnten.

Dann gibt es leicht faktorisierbare Zahlen mit 1 Mio. Stellen, die sehr leicht zerlegbar sind... (z.B. die Form 2^n )

zu 2) c)

Relativ kleine Zahlen (kleiner 50 Stellen oder leicht faktorisierbar) können mit der Funktion Divisors[x] berechnet werden:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Divisors%5B924%5D

ergibt

1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 21, 22, 28, 33, 42, 44, 66, 77, 84, 132, 154, 231, 308, 462, 924 (24 divisors)
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§1: sin(x) ist eine mathematische Funktion mit dem Argument (Input) x und der Periodendauer von 2Pi (danach wiederholt sich alles).

§2: die Funktionsergebnisse (Output) liegen alle im Bereich von -1...+1

§3: cos und tan haben sich die Menschen nur aus "Schreibfaulheit" zur Abkürzung ausgedacht. cos(x) ist einfach nur um Pi/2 verschoben-> kann also aus sin berechnet werden :

cos(x)=sin(x+pi/2)=sin(pi/2-x)=... mehr unter

http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

Da sich die exakten Funktionsergebnisse relativ schwer berechnen lassen (unendliche Summen!; Taschenrechner verwendet nur Näherungsfunktionen und ist oft nicht mal 6 Nachkommastellen genau), haben sich die Menschen Wertetabellen erstellt.

Mit Hilfe von mathematischen Gesetzen, können einige Spezialwerte auch mit Hilfe der Wurzelfunktion Wurzel(x)=sqrt(x) berechnet werden:

sin( 0.7853981633974483...)=0.707106781186547...

hinter den 3 Punkten kommen aber noch unendlich viele Nachkommastellen, und deshalb kürzen die Menschen mit Symbolen ab:

sin(Pi/4) = sqrt(2)/2=1/sqrt(2)=Wurzel(2)/2

Aus geschichtlichen Gründen kannte man damals die Konstante Pi noch nicht so exakt und verwendete statt für den Vollkreis (2 Pi) die veraltete Einheit 360°.

Um diesen Umrechnungsfaktor 360/(2Pi)= 180/Pi = 57,29577951308232...

ist die veraltete Einheit ° (Grad) größer als die internationale SI Einheit des Winkels (rad). Einige Taschenrechner haben einen Einheiten-Umrechner-Modus eingebaut, der die Eingaben mit dem Faktor multipliziert (bevor der Funktionswert berechnet wird). Steht dieser auf Grad, rechnet er intern also:

sin( x° * Pi/180°)

Beispiel: Eingabe 30 im Modus Grad

sin(30° * Pi/180°)= sin(Pi/6)= sin(0.523598775598...)=0.5 = 1/2

Dann gibt es noch andere Einheiten, die nur noch mehr verwirren.

Ich lasse immer auf Modus SI-Einheiten stehen (beim Winkel ist es rad) und rechne selbst fremde Einheiten in SI-Einheiten um -> so kommt man nie durcheinander. Alle physikalischen Gesetze funktionieren mit SI-Einheiten!

Man kann die Wurzelschreibweise auch übertreiben, und dann ist die Berechnung per Wurzel komplizierter als die per sin:

sin(Pi/240) = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))(sqrt((5+sqrt(5))/128)-sqrt(3)(sqrt(5)-1)/16)-sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)))((sqrt(5)-1)/16+sqrt(3/128(5+sqrt(5))))

= 0.01308959557134444019...

Noch was zur Frage, "..warum mit Pi zu tun..." -> lese

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

also weil der Umfang U eines Kreises mit dem Radius r=1 genau 2 Pi beträgt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Umfang

Die Winkeleinheit ist also die stufenlose Beschreibung, wie lang die betrachtete Kreislinie beim Kreis mit Radius 1 ist:

Vollkreis (360°): 2*Pi = 6.283185307179586476925...

Halbkreis: Pi = 3.14...

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Guter Hinweis auf https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriels_Horn

Genau dieses Beispiel veranschaulicht sehr gut den Unterschied des Aufsummierens von Teilobjekten:

a) praktisches Leben/Physik: Aufsummieren bedeutet, dass man die Teil-Objekte (meist Teilflächen) zusammenzählt, also addiert. (Diskrete Addition)

b) theoretische Mathematik: hier wird stufenlos aufsummiert, Mathematiker reden von https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung und verwenden dabei das Integralzeichen ∫ .

Je kleiner die Teilobjekte (Dimensionen) werden, um so näher kommen sich die Ergebnisse von a) und b) . Man sagt: mit immer kleineren Teilsummen konvergiert die Gesamtsumme a) dem Integral b) und bei UNENDLICH kleinen Teilobjekten (z.B. Teilflächen), stimmen beide überein.

Integration von 2 Längen-Dimensionen ergibt eine Fläche.

3 Längendimensionen -> ergeben Volumen http://www.gerdlamprecht.de/Volumenintegrale.html usw.

Nun gibt es viele Gesetze, wie z.B. die, dass bei Konstantheit einer Funktion/Dimension diese vor ein Integral geschrieben werden kann.

Beim Rechteck ist dies der Fall -> und so wird eine Fläche, die über die eine Länge a und die andere Länge b (2. Dimension genau im rechten Winkel) integriert wird, zur ganz einfachen Rechnung: A = Integral (...) = a * b.

Bei Gabriels Horn jedoch, endet die theoretische Mathematik nicht (wie die reale Physik) bei Atomgröße, sonder wird bis in alle Ewigkeit nach der nichtlinearen Funktion 1/x² weiter integriert. Und man entfernt sich dadurch immer weiter von der Wirklichkeit, was sich als Paradoxon ausdrückt (endlich großes Volumen mit einer unendlich großen Oberfläche!).

Jedes Paradoxon ist immer ein Zeichen dafür, dass bei der Theorie ein oder mehrere Randbedingungen weggelassen wurden, die aber bei der realen Physik absolut wichtig sind.

Hier sind es:

  1. die Unendlichkeit, die es nicht gibt
  2. die kürzeste Wegstrecke, die nicht unendlich kein sein kann, sondern nur https://de.wikipedia.org/wiki/Planck-Einheiten
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Warum denken viele Frauen immer, dass die "primitiven Männer" nicht erkennen, ob eine Frau sportlich ist, und dass man mit äußerlichen Sachen was versteckten kann oder allein nur durch die Sachen "prüde" ist...?

Oft ist es genau anders herum, denn die besten Schwimmerinnen tragen zum Schnellschwimmen Badeanzüge (Bikini würde beim Start oder bei Hochgeschwindigkeitsrutsche verrutschen).

Meist wird aber der Bikini getragen, weil man darin besser braun wird.

Warum nur immer dieses ENTWEDER ODER? Es gibt nicht nur schwarz & weiß, sondern die Welt hat auch bunt & grau. Alles hat seine Vor- & Nachteile. Man kann doch beides tragen. Ich kenne auch viele, die ziehen sich zum Schwimmen den Badeanzug an und zum Sonnen den Bikini.

Noch was zu "...ich habe eine schlanke sportliche Figur": Männer erkennen schon an der Bewegung, ob eine Frau wirklich sportlich ist. Ich bin auch der gleichen Meinung wie NoKnower123: "ich zu einer Frau niemals "nein" sagen, nur weil sie jetzt einen Badeanzug anhat"! Ich gehe noch weiter: Da kann eine "dürre mit sexy Bikini" bewegungslos herumstehen, aber wenn eine schlanke mit sportlichen Bewegungen kommt (egal ob Schwimmen oder Tanzen) macht mich das mehr an.

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