Wie funktionieren rationale Superpotenzen?
Wir alle kennen die klassischen Beispiele. 3^3 = 3*3*3, 3^^3 = 3^3^3, nun stelle ich mir die Frage wie Tetration mit rationalen Superpotenzen funktioniert, wie kann ich mit 2^^(1/2) rechnen, wie kann ich mir das vorstellen und wenn wir schon dabei sind, die tetriere ich irrationale oder gar transzendente Zahlen, zum Beispiel e^^e. Das ... ich kann mir das einfach nicht mehr vorstellen.
1 Antwort
Dein ^^ mag zwar in einigen wenigen Sprachen bekannt sein ( 3^^3 = 3^3^3 ).
Ich kenne aber kein "Rechner", der diese Tetration https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm
mit Syntax x^^y berechnen kann. (Nur Funktionsnamen)
So wie x^n die n malige Multiplikation von x ist, so ist
Tetration(x,n) die n malige Potenzierung von x.
Tetration(2,4)= 2^2^2^2 = 65536
In Mathematica schreibt man das
Nest[Power[2, #]&, 1,4] -> der 2. Parameter muss also immer GANZZAHLIG sein!
(im Gegensatz zum Potenzieren, denn da hat man die e-Funktion mit Hilfe der Reihenentwicklung auch für reelle Zahlen)
Beachte: Potenztürme ohne klammern bedeuten von hinten beginnen:
2^2^2^2=2^(2^(2^2))
Unter https://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
habe ich Tetration eingebaut:
Tetration (1.5,14) ergibt schon eine Zahl mit
264007110309346 Stellen!!!!
Potenzieren mit reellen Zahlen oder komplexen Zahlen mit:
x^y = Pow(x,y)= e^(ln(x)*y)= Exp[Log[x]*y]
Tetration(e,5)=10^(1.0125594950 e1656520)=10^(1.012559495*10^1656520)
Zahl mit 10^1656520 Stellen!!!
komplex:
Tetration[2.5+3.5i,4]=0.343785+0.0800288 i
Es gibt tatsächlich Näherungsformeln für reelle Zahlen des 2. Parameters, aber ohne Praxisbezug: https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Higher_order_approximations_for_real_heights
Wenn Dich einzelne Funktionwerte oder Kurvenverläufe interessieren, frage nach.
Ich berechne gerade Tetration(e,e)...
Angeblich gibt's auch Tetration(i,i), aber mit Vorsicht zu genießen: https://math.stackexchange.com/questions/280251/what-is-i-exponentiated-to-itself-i-times