Wann liegt ein Wendepunkt/Sattelpunkt vor?

3 Antworten

Sattelpunkte sind WP mit einer waagrechten Tangente.

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Aber das Vorzeichen der ersten Ableitung bleibt gleich , dh sie hat dort einen Berührpunkt x-Achse 

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Das heißt : ein Kriterium wäre eine doppelte Nullstelle ( Berührpunkt ) der ersten Ableitung.

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Davon habe ich eigentlich noch nix gelesen, was mich wundert . Noch sehe ich keinen Fehler in meiner Argumentation . 

Totsicher ist aber : wenn f**(x) = 0 , dann wp und zusätzlich f'(xwp) = 0 , dann SatPu.

https://www.oberprima.com/vorzeichenwechsel-kriterium/

Also braucht man die dritte Ableitung nicht, um sagen zu können, ob ein Sattelpunkt/Wendepunkt vorliegt?

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Von Experte Wechselfreund bestätigt

Sattelpunkte liegen vor, wenn an der Wendestelle die Steigung 0 ist.

Damit überhaupt ein Wendepunkt vorliegen kann, muss die zweite Ableitung zwingend 0 sein (notwendige Bedingung).

Mit der Vorzeichentabelle bestimmst Du nun aber "nur", ob es sich überhaupt um eine Wendestelle handelt. Das ist der Fall, wenn sich das Vorzeichen vor und hinter der Wendestelle in der zweiten Ableitung ändert. Die jeweiligen Vorzeichen zeigen Dir, ob die Funktion von Linkskrümmung nach Rechtskrümmung wechselt (Wechsel von + nach -) oder umgekehrt. Ob dieser Wendepunkt nun auch ein Sattelpunkt ist, erfährst Du, wenn Du diese x-Stelle in die erste Ableitung einsetzt. Kommt da auch Null raus, dann hast Du einen Sattelpunkt.

Ändert sich das Vorzeichen in der zweiten Ableitung nicht, liegt eine Extremstelle vor (die Krümmung bleibt vor und hinter der "vermuteten" Wendestelle gleich).

Aber "eigentlich" prüft man ja zuerst die Extremstellen vor den Wendestellen. Dabei würde dann auffallen, dass wenn in der ersten Ableitung an der vermuteten Extremstelle kein Vorzeichenwechsel vorliegt, hier eine Wendestelle sein muss. Und wegen f'=0 an dieser Stelle, muss es ein Sattelpunkt sein.

Wendepunkt:
2te Ableitung an der Stelle = 0 Aber 3te Ableitung an der Stelle ungleich Null
Sattelpunkt:
2te Ableitung UND 3te Ableitung and der Stelle = 0

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