Wann liegt ein Wendepunkt/Sattelpunkt vor?
Hallo,
Es geht um Extrema, also Hochpunkte und Tiefpunkte. Wann diese vorliegen ist mir klar. Aber wann liegt ein Wendepunkt bzw. ein Sattelpunkt vor? Ich nutze dafür die Vorzeichen-Tabelle.
So weit ich weiß sind Sattelpunkte besondere Wendepunkte. Ist das richtig? Und wie erkennt man diese in einer Vorzeichentabelle? Muss dafür die zweite Ableitung 0 sein?
Könnt ihr mir das anschaulich erklären?
Danke für hilfreiche Antworten🥀🦉
3 Antworten
Sattelpunkte sind WP mit einer waagrechten Tangente.
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Aber das Vorzeichen der ersten Ableitung bleibt gleich , dh sie hat dort einen Berührpunkt x-Achse
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Das heißt : ein Kriterium wäre eine doppelte Nullstelle ( Berührpunkt ) der ersten Ableitung.
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Davon habe ich eigentlich noch nix gelesen, was mich wundert . Noch sehe ich keinen Fehler in meiner Argumentation .
Totsicher ist aber : wenn f**(x) = 0 , dann wp und zusätzlich f'(xwp) = 0 , dann SatPu.
Es reicht ein VZW der zweiten Ableitung. Das ist sogar aussagekräftiger.
Sattelpunkte liegen vor, wenn an der Wendestelle die Steigung 0 ist.
Damit überhaupt ein Wendepunkt vorliegen kann, muss die zweite Ableitung zwingend 0 sein (notwendige Bedingung).
Mit der Vorzeichentabelle bestimmst Du nun aber "nur", ob es sich überhaupt um eine Wendestelle handelt. Das ist der Fall, wenn sich das Vorzeichen vor und hinter der Wendestelle in der zweiten Ableitung ändert. Die jeweiligen Vorzeichen zeigen Dir, ob die Funktion von Linkskrümmung nach Rechtskrümmung wechselt (Wechsel von + nach -) oder umgekehrt. Ob dieser Wendepunkt nun auch ein Sattelpunkt ist, erfährst Du, wenn Du diese x-Stelle in die erste Ableitung einsetzt. Kommt da auch Null raus, dann hast Du einen Sattelpunkt.
Ändert sich das Vorzeichen in der zweiten Ableitung nicht, liegt eine Extremstelle vor (die Krümmung bleibt vor und hinter der "vermuteten" Wendestelle gleich).
Aber "eigentlich" prüft man ja zuerst die Extremstellen vor den Wendestellen. Dabei würde dann auffallen, dass wenn in der ersten Ableitung an der vermuteten Extremstelle kein Vorzeichenwechsel vorliegt, hier eine Wendestelle sein muss. Und wegen f'=0 an dieser Stelle, muss es ein Sattelpunkt sein.
Immer diese Sattelpunkte :
Ob dieser Wendepunkt nun auch ein Sattelpunkt ist, erfährst Du, wenn Du diese x-Stelle in die erste Ableitung einsetzt. Kommt da auch Null raus, dann hast Du einen Sattelpunkt.
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aber bei f(x) = x^4 ist bei x = 0 kein SP , aber f''(0) = 0 und f'(0) auch gleich Null
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ich bin auch noch hinter einer schnellen Möglichkeit , den SP zu entdecken her.
"Ob dieser Wendepunkt nun auch ein Sattelpunkt ist, ..." bedeutet ja, man weiß, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. Hat dieser Wendepunkt nun die Steigung Null, dann ist es ein Sattelpunkt.
Ob es sich wegen f''(x0)=0 an der Stelle x0 tatsächlich um einen Wendepunkt handelt, oder nicht vielleicht doch wie bei f(x)=x^4 um einen Extrempunkt, erfährt man, indem man entweder prüft, ob sich das Vorzeichen der 2. Ableitung vor und hinter x0 ändert, oder man leitet weiter ab, bis "irgendwann" die Ableitung an der Stelle x0 nicht mehr Null ist. Ist dies eine ungerade Ableitung, dann hat man es mit einem Wendepunkt zu tun, ist es eine gerade Ableitung, dann ist bei x0 eine Extremstelle.
Solche Funktionen, bei denen man etliche Male ableiten müsste, sind dann doch "im Normalgebrauch", also Schule, eher selten. Daher würde ich in solchen Fällen direkt auf die Prüfung des Vorzeichens gehen, dann erspart man sich auch je nach Komplexität des Funktionsterms den Aufwand weiterer Ableitungen! Hat man dann die Wendestelle, dann kann man über die 1. Ableitung schauen, ob's ein Sattelpunkt ist. Schneller geht's leider nicht. :)
Das sehe ich auch so , aber hier "beschwert" sich ein Abiturient , dass diese Schulregeln nicht alle Möglichkeiten umfassen .
Übrigens hieße das ja auch , dass die Fkt x hoch gerader Exponent tunlichst vermieden werden sollten in der Schule , weil es sonst noch mehr zu erklären gibt.
Wendepunkt:
2te Ableitung an der Stelle = 0 Aber 3te Ableitung an der Stelle ungleich Null
Sattelpunkt:
2te Ableitung UND 3te Ableitung and der Stelle = 0
Also braucht man die dritte Ableitung nicht, um sagen zu können, ob ein Sattelpunkt/Wendepunkt vorliegt?