Hochpunkt, obwohl zweite Ableitung gleich null?

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5 Antworten

Die "nomalen" hinreichenden Bedingungen (2. Ableitung ungleich null, VZW der ersten Ableitung) sind ja schon erörtert worden.

Ich kann mich da an eine weitere hinreichende Bedingung aus meiner Schulzeit (damals...) erinnern, die Du halbwegs selber entdeckt hast :-)

Wenn diejenige Ableitung, die an einer Stelle x0 als erstes ungleich null wird, einen geraden Grad hat (bei Dir ist es die vierte Ableitung, im "Normalfall" ist es die zweite), dann liegt auf jeden Fall eine Extremstelle vor.

Also: passt!

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Hallo,

wenn sowohl die erste als auch die zweite Ableitung an einer Stelle Null sind, dann liegt bei der Funktion ein Sattelpunkt vor.

Ist an der Nullstelle der ersten Ableitung die zweite Ableitung negativ, hast Du ein Maximum, sonst ein Minimum.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von IsaGriffey
11.06.2016, 21:29

An der Stelle ist aber kein Sattelpunkt :o

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Wenn die dritte Ableitung auch gleich 0 ist, steht fest, dass an der berechneten x-Stelle kein Sattelpunkt sein kann. Dann liegt, obwohl die zweite Ableitung 0 ergibt, ein Hoch-/Tiefpunkt vor.

Du musst in diesem Falle die Steigung ein ganz bisschen rechts und ein ganz bisschen links von dem Extremum berechnen und musst aus den berechneten Werten schließen, welche Art von Extremum vorliegt.

Links: negativ und rechts: positiv --> Tiefpunkt

Links: positiv und Rechts: negaitv --> Hochpunkt

Links: positiv und Rechts: positiv --> Sattelpunkt

Links: negaitv und Rechts: positiv --> Sattelpunkt

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Kommentar von WeicheBirne
11.06.2016, 21:31

Das kann jetzt aber nicht stimmen. Wie soll denn eine Funktion aussehen bei der an einem Hoch- oder Tiefpunkt die zweite und die dritte Ableitung Null sind?

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Kommentar von IsaGriffey
11.06.2016, 21:32

Beim letzten meintest du Links negativ und rechts negativ oder, denn die Steigung wird ja beim Sattelpunkt null aber davor und danach bleibt sie ja gleich oder?

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f(x)=0,2 *x^5 - 0,5 *x +4 

Maximum bei x=-0,84 y=4,33

Minimum bei x=0,84 y=3,66

Wendepunkt bei x=0

Habe ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt.

TIPP : Besorge dir auch privat einen,sonst bist du bei Funktionen verloren !

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Alternativ zur zweiten Ableitung kannst du auch den Vorzeichenwechsel an der Stelle in der 1. Ableitung überprüfen, d.h. du setzt eine Zahl, die etwas kleiner ist und eine, die etwas größer ist, ein.

f'(-1) = 3

f'(1) = -1

Wechsel von + (positiv) zu - (negativ), d.h., an der Stelle 0 gibt es einen Hochpunkt.

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Kommentar von PWolff
11.06.2016, 22:21

Einzelne Werte einzusetzen reicht nicht. Man muss den Vorzeichenwechsel für beliebig kleine Abweichungen nachweisen. Mit einzelnen Werten zeigt man nur die Existenz eines Extremums irgendwo im Intervall.

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