Hochpunkt, obwohl zweite Ableitung gleich null?
Hallo :) Ich bin grade am üben für eine Mathearbeit und nun stellt sich folgendes Problem (haben wir nicht im Unterricht behandelt), nämlich wenn die zweite Ableitung gleich null ist, aber an dieser Stelle eigentlich (wenn man sich die Funktion z.b. bei geogebra anguckt) ein Hochpunkt sein sollte.
Bei der Aufgabe ist eine Stelle gegeben, und man soll bestimmen ob ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt. Eigentlich ganz einfach dachte ich, in die zweite Ableitung einsetzen und gucken ob es größer oder kleiner null ist. Die Funktion lautet 0,2x^5-0,5x4 und die Stelle in dem Fall x = 0. Es ist ja klar, das erst ab der 4. Ableitung was anderes rauskommt als null, aber woher soll man dann wissen ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist? :o
5 Antworten
Alternativ zur zweiten Ableitung kannst du auch den Vorzeichenwechsel an der Stelle in der 1. Ableitung überprüfen, d.h. du setzt eine Zahl, die etwas kleiner ist und eine, die etwas größer ist, ein.
f'(-1) = 3
f'(1) = -1
Wechsel von + (positiv) zu - (negativ), d.h., an der Stelle 0 gibt es einen Hochpunkt.
Im Schulunterricht schon. Und, um das mathematische Gewissen zu beruhigen: Die Funktion ist stetig.
Die "nomalen" hinreichenden Bedingungen (2. Ableitung ungleich null, VZW der ersten Ableitung) sind ja schon erörtert worden.
Ich kann mich da an eine weitere hinreichende Bedingung aus meiner Schulzeit (damals...) erinnern, die Du halbwegs selber entdeckt hast :-)
Wenn diejenige Ableitung, die an einer Stelle x0 als erstes ungleich null wird, einen geraden Grad hat (bei Dir ist es die vierte Ableitung, im "Normalfall" ist es die zweite), dann liegt auf jeden Fall eine Extremstelle vor.
Also: passt!
Wenn die dritte Ableitung auch gleich 0 ist, steht fest, dass an der berechneten x-Stelle kein Sattelpunkt sein kann. Dann liegt, obwohl die zweite Ableitung 0 ergibt, ein Hoch-/Tiefpunkt vor.
Du musst in diesem Falle die Steigung ein ganz bisschen rechts und ein ganz bisschen links von dem Extremum berechnen und musst aus den berechneten Werten schließen, welche Art von Extremum vorliegt.
Links: negativ und rechts: positiv --> Tiefpunkt
Links: positiv und Rechts: negaitv --> Hochpunkt
Links: positiv und Rechts: positiv --> Sattelpunkt
Links: negaitv und Rechts: positiv --> Sattelpunkt
"Wenn die dritte Ableitung auch gleich 0 ist, steht fest, dass an der berechneten x-Stelle kein Sattelpunkt sein kann."
Das stimmt so leider nicht. Betrachte z.B. y = x^5 an der Stelle x=0 .
Beim letzten meintest du Links negativ und rechts negativ oder, denn die Steigung wird ja beim Sattelpunkt null aber davor und danach bleibt sie ja gleich oder?
Das kann jetzt aber nicht stimmen. Wie soll denn eine Funktion aussehen bei der an einem Hoch- oder Tiefpunkt die zweite und die dritte Ableitung Null sind?
du kannst sie dir hier mal zeigen lassen: http://funktion.onlinemathe.de/
X^10 ist an der Stelle x=0 bis zur 9. Ableitung Null. Deshalb heißt es ja auch nur hinreichende Bedingung. Wenn die erste und zweite Ableitung 0 ist, reicht es für einen Wendepunkt, dass die 3. Ableitung ungleich 0 ist. Dann habe ich einen Sattelpunkt. Andernfalls muss ich weiter untersuchen. Ggf. mit Vorzeichenwechselkriterium.
Extrembeispiel:
f(x) = 0 für x= 0
f(x) = e^(-1/x^2) sonst
hat bei x = 0 ein Minimum, ist dort beliebig oft differenzierbar und ALLE Ableitungen dort sind 0.
In solchen Fällen muss man sich was anderes einfallen lassen, um Extremstelle bzw. Sattelpunktstelle nachzuweisen.
Hallo,
wenn sowohl die erste als auch die zweite Ableitung an einer Stelle Null sind, dann liegt bei der Funktion ein Sattelpunkt vor.
Ist an der Nullstelle der ersten Ableitung die zweite Ableitung negativ, hast Du ein Maximum, sonst ein Minimum.
Herzliche Grüße,
Willy
Aber hallo,
natürlich ist da einer. Hast Du Dir den Funktionsgraphen
von f(x)=0,2x^5-0,5x^4 mal in einem Plotter angesehen?
Bei 0 sieht der Graph doch aus wie eine nach unten geöffnete,
abgeflachte Parabel (tolle Beschreibung, ich weiß), d.h. er ist die
ganze Zeit über rechtsgekrümmt. Mein Taschenrechner zeigt mir auch keinen Wendepunkt an.
"Die dritte Ableitung muß an dieser Stelle ungleich Null sein."
Naja, bei z.B. y=x^5 ist auch die dritte Ableitung an der Stelle 0 Null, trotzdem gibt es dort einen Sattelpunkt. Da muss man sich wohl wieder den Vorzeichenwechsel angucken, hier in der 2. Ableitung - f''(-1) = -20 < 0 -> rechtsgekrümmt; f''(1) = 20 > 0 -> linksgekrümmt → Krümmungswechsel = Wendepunkt
f(x)=0,2 *x^5 - 0,5 *x +4
Maximum bei x=-0,84 y=4,33
Minimum bei x=0,84 y=3,66
Wendepunkt bei x=0
Habe ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt.
TIPP : Besorge dir auch privat einen,sonst bist du bei Funktionen verloren !
Einzelne Werte einzusetzen reicht nicht. Man muss den Vorzeichenwechsel für beliebig kleine Abweichungen nachweisen. Mit einzelnen Werten zeigt man nur die Existenz eines Extremums irgendwo im Intervall.